Question

9．如圖，在半徑為r的軸上懸掛著一個(gè)質(zhì)量為M的水桶P，軸上均勻分布著6根手柄，每個(gè)柄端固定有質(zhì)量均為m的金屬球，球離軸心的距離為l，輪軸、繩和手柄的質(zhì)量及摩擦均不計(jì)，現(xiàn)由靜止釋放水桶，整個(gè)裝置開始轉(zhuǎn)動(dòng)．
（1）從圖示位置開始轉(zhuǎn)過(guò)60°時(shí)，6個(gè)金屬球中重力勢(shì)能減少最多的是多少？
（2）當(dāng)水桶下降的高度為h時(shí)，水桶的速度為多少？
（3）當(dāng)水桶下降的高度為h時(shí)，若轉(zhuǎn)輪恰好轉(zhuǎn)過(guò)480°，求手柄對(duì)圖中最底部的球所做的功．

Answer 1

分析 （1）確定出金屬球下降的高度最大值，即可得到重力勢(shì)能減少最大值．
（2）水桶下降的過(guò)程中，水桶和金屬球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解水桶的速度；
（3）對(duì)最底部的球，運(yùn)用動(dòng)能定理求手柄對(duì)該球所做的功．

解答 解：（1）從圖示位置開始轉(zhuǎn)過(guò)60°時(shí)，6個(gè)金屬球中下降的最大高度為：h=2lsin30°=l
重力勢(shì)能減少最多的為：△E_p=mgh=mgl
（2）水桶下降的高度為h時(shí)，水桶的速度為v₁，金屬球的速度為v₂，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則有：
   Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$×6mv₂²，
又：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{ωr}{ωl}$=$\frac{r}{l}$，解得：v₁=$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$，v₂=$\sqrt{\frac{2Mgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$
（3）當(dāng)水桶下降的高度為h時(shí)，轉(zhuǎn)輪恰好轉(zhuǎn)過(guò)480°時(shí)，圖中最底部的球上升的高度為：
H=l（1+sin30°）=$\frac{3}{2}$l
對(duì)最底部的球，運(yùn)用動(dòng)能定理得：
W-mgH=$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得手柄對(duì)圖中最底部的球所做的功為：
W=$\frac{3}{2}$mgl+$\frac{Mmgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$
答：（1）從圖示位置開始轉(zhuǎn)過(guò)60°時(shí)，6個(gè)金屬球中重力勢(shì)能減少最多的是mgl．
（2）當(dāng)水桶下降的高度為h時(shí)，水桶的速度為$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$．
（3）當(dāng)水桶下降的高度為h時(shí)，若轉(zhuǎn)輪恰好轉(zhuǎn)過(guò)480°，手柄對(duì)圖中最底部的球所做的功是$\frac{3}{2}$mgl+$\frac{Mmgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要根據(jù)幾何關(guān)系分析水桶高度的變化，明確水桶的速度和金屬球的速度的關(guān)系，再運(yùn)用系統(tǒng)的機(jī)械能守恒進(jìn)行解答．