Question

【題目】如圖所示在豎直平面內(nèi)，光滑曲面AB與長(zhǎng)度l=3m的水平傳送帶BC平滑連接于B點(diǎn)，傳送帶BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑r=0.55m的四分之一細(xì)圓管CD，圓管內(nèi)徑略大于物塊尺寸，管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k=50N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊。一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從曲面上P點(diǎn)靜止釋放，P點(diǎn)距BC的高度為h=0.8m。（已知彈簧的彈性勢(shì)能Ep與彈簧的勁度系數(shù)k和形變量x的關(guān)系是：Ep=kx2，水平傳送帶與物間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，重力加速度g取10m/s2。）求：

（1）若傳送帶靜止不動(dòng)物塊在水平傳送帶BC上前進(jìn)的距離；

（2）若傳送帶向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度v0=2m/s，物塊剛進(jìn)入細(xì)圓管CD時(shí)對(duì)管道的彈力，物塊在壓縮彈簧過(guò)程中的最大速度（壓縮彈簧過(guò)程未超過(guò)彈性限度）；

（3）若傳送帶向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度v0=2m/s，物塊從第一次進(jìn)入細(xì)圓管后將做周期性的運(yùn)動(dòng)。由于物塊與傳送帶發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)周期內(nèi)帶動(dòng)傳送帶的電動(dòng)機(jī)多消耗的電能。

Answer 1

【答案】（1）2m（2）4m/s（3）4J

【解析】

（1）物塊從P點(diǎn)靜止釋放到停在傳送帶某處的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得mgh-μmgx=0-0

解得x =2m；

（2）若傳送帶向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度v0=2m/s，因?yàn)閭魉蛶чL(zhǎng)度l=3m大于2m，所以物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度vC=2m/s

物塊經(jīng)過(guò)管道C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得mg-N=m

解得，管道對(duì)物塊的彈力N=N≈1.36N，方向豎直向上

根據(jù)牛頓第三定律得知，物塊對(duì)管道的彈力大小N′=N≈1.36N，方向豎直向下。

物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到速度最大的過(guò)程，根據(jù)平衡條件得mg =kx′

得x′=0.1m

由動(dòng)能定理得mg(r+x′)-=-

解得，最大速度vm=4m/s

（3）物塊再次回到C點(diǎn)的速度仍為2m/s，它在傳送帶上先向左勻減速運(yùn)動(dòng)到速度為零，再向右勻加速運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)，速度大小仍為2m/s，因此，電動(dòng)機(jī)多消耗的電能即為物塊與傳送帶之間的摩擦生熱.

物塊向左減速的位移x1===0.5m

物塊與傳送帶間的相對(duì)位移△x1=x1+v0

解得△x1=1.5m

物塊向右加速運(yùn)動(dòng)的位移x2==0.5m

物塊與傳送帶間的相對(duì)位移△x2=v0-x2=0.5m

因此，一個(gè)周期內(nèi)帶動(dòng)傳送帶的電動(dòng)機(jī)多消耗的電能是E=μmg(△x1+△x2)

解得:E =4J