Question

11．如圖所示，用一根長為L=1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在一光滑椎體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ=37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω時，細(xì)線的張力為F_T．（g取10m/s²，結(jié)果可用根式表示）求：
（1）若要小球離開錐面，則小球的角速度ω₀至少為多大？
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
（3）細(xì)線的張力F_T與小球勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）小球剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度ω₀．
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°時，小球離開錐面，由重力和細(xì)線拉力的合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求解．
（3）根據(jù)小球的角速度較小，小球貼著錐面運(yùn)動和離開錐面運(yùn)動兩個過程，分析即可．

解答 解：（1）小球剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：
$\left.\begin{array}{l}{mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}lsinθ}\\{則{{ω}_{0}}^{2}=\frac{g}{lcosθ}}\\{{ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}=\sqrt{12.5}rad/s}\end{array}\right.$
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°時，小球離開錐面，由重力和細(xì)線拉力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
  mgtan60°=mω′²lsin60°
得，ω′=$\sqrt{\frac{g}{lcos60°}}$=$\sqrt{\frac{10}{1×\frac{1}{2}}}$=2$\sqrt{5}$rad/s
（3）a．當(dāng)ω₁=0時  T₁=mgcosθ=8N；
b．當(dāng)0＜ω＜$\sqrt{12.5}rad/s$時，根據(jù)牛頓第二定律得：
 $\left\{\begin{array}{l}{Tsinθ-Ncosθ=mω{\;}^{2}lsinθ}\\{Tcosθ+Nsinθ=mg}\end{array}\right.$
得：${F}_{T}=mgcosθ+ml{ω}^{2}si{n}^{2}θ=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
c．當(dāng)$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤\sqrt{20}rad/s$時，小球離開錐面，設(shè)細(xì)線與豎直方向夾角為β
 $\left.\begin{array}{l}{{T}_{3}sinβ=m{ω}^{2}lsinβ}\end{array}\right.$
得：$\left.\begin{array}{l}{{F}_{T}=ml{ω}^{2}}\end{array}\right.$
答：（1）小球的角速度ω₀至少為$\sqrt{12.5}$rad/s．
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為2$\sqrt{5}$rad/s．
（3）a．當(dāng)ω₁=0時  T₁=mgcosθ=8N；
b．當(dāng)0＜ω＜$\sqrt{12.5}rad/s$時，${F}_{T}=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
c．當(dāng)$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤\sqrt{20}rad/s$時，小球離開錐面，細(xì)線的拉力$\left.\begin{array}{l}{{F}_{T}=ml{ω}^{2}}\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于判斷小球是否離開圓錐體表面，不能直接應(yīng)用向心力公式求解，并要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識作出圖象，難度較大．