Question

15．如圖所示，光滑半圓軌道豎直放置，半徑為R，摩擦因數(shù)μ=0.3的粗糙水平軌道與圓軌道相切，在水平軌道上有一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的木塊，受到F=7N的水平力作用，經(jīng)過L=2m的距離到達(dá)半圓軌道最低點(diǎn)．
（1）當(dāng)R=0.5m時(shí)，求木塊對(duì)豎直半圓軌道最低點(diǎn)的壓力？
（2）如果木塊能從半圓軌道最高點(diǎn)拋出，當(dāng)半圓軌道半徑R多大時(shí)，平拋的水平距離最大？最大值是多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出木塊到達(dá)半圓軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度．木塊在半圓軌道最低點(diǎn)，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出支持力，再得到壓力．
（2）從軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得到最高點(diǎn)速度與半徑R的關(guān)系．再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到平拋水平距離與R的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）木塊在水平軌道上運(yùn)動(dòng)的過程，由動(dòng)能定理得：
   （F-μmg）L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₁=4m/s
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得
    F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 F_N=42N
由牛頓第三定律得知，木塊對(duì)豎直半圓軌道最低點(diǎn)的壓力 F_N′=F_N=42N
（2）設(shè)木塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，木塊從半圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，則
    $\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
所以有 v₂=$\sqrt{16-40R}$
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有
   2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v₂t 
聯(lián)立并整理得 x=4$\sqrt{\frac{-10{R}^{2}+4R}{10}}$=4$\sqrt{-（R-0.2）^{2}+0.04}$
所以當(dāng) R=0.2m時(shí)水平距離x最大，最大值為 x_max=0.8m
答：
（1）當(dāng)R=0.5m時(shí)，木塊對(duì)豎直半圓軌道最低點(diǎn)的壓力是42N．
（2）當(dāng)半圓軌道半徑R為0.2m時(shí)，平拋的水平距離最大，最大值是0.8m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平距離的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，是常用的函數(shù)法，要學(xué)會(huì)運(yùn)用．