Question

14．如圖所示，BC為一段光滑圓弧軌道，B點(diǎn)距滑板上表面高h(yuǎn)=1m，DE為半圓形光滑軌道，兩圓弧軌道均固定于豎直平面內(nèi)，兩軌道的半徑均為R=2m．滑板長(zhǎng)L=7m，質(zhì)量M=1kg，靜止在光滑水平地面上，滑板右端緊靠C點(diǎn)，上表面恰可與兩圓弧相切于C點(diǎn)和D點(diǎn)，滑板左端到半圓形軌道下端D點(diǎn)的距離L=3m．一物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)量m=1kg以初速v₀=2$\sqrt{5}$m/s從A點(diǎn)水平拋出，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間恰在B點(diǎn)沿切線進(jìn)入BC段圓弧軌道，經(jīng)C點(diǎn)滑上滑板，滑板左端到達(dá)D點(diǎn)時(shí)立即披牢固粘連．物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，g=10m/s²，求：
（1）物塊拋出點(diǎn)A點(diǎn)距滑板上表面的高度H；
（2）物塊最終靜止時(shí)的位置到C點(diǎn)的距離S．

Answer 1

分析 （1）物塊落到B點(diǎn)前做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出H的高度．
（2）物塊滑到M上后M向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，m向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律求出加速度，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與動(dòng)能定理求出物塊的路程，然后求出物塊最終靜止時(shí)到C點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）物塊開始做平拋運(yùn)動(dòng)，物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度如圖所示，
由幾何知識(shí)得：sinθ=$\frac{R-h}{R}$=$\frac{2-1}{2}$=0.5，則θ=30°，α=60°，
v_y=v₀tanα=2$\sqrt{5}$tan60°=2$\sqrt{15}$m/s，
物塊從A到B過(guò)程做平拋運(yùn)動(dòng)，
H-h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{（2\sqrt{15}）^{2}}{2×10}$=3m；
解得：H=4m
（2）到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=$\frac{2\sqrt{5}}{cos60°}$=4$\sqrt{5}$m/s，
從B到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv²，解得：v_C=10m/s，
物塊滑上滑板后向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，滑板向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得，對(duì)物塊：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10=5m/s²，
對(duì)滑板：a′=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.5×10×1}{1}$=5m/s²，
物塊與滑板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)兩者速度相等過(guò)程中，
以向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv_C=（M+m）v_共，解得：v_共=5m/s，
該過(guò)程滑塊的位移：x′=$\frac{{v}_{共}^{2}}{2a′}$=$\frac{{5}^{2}}{2×5}$=2.5m＜L′，
物塊的位移：x=$\frac{{v}_{共}^{2}-{v}_{C}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}-1{0}^{2}}{2×（-5）}$=7.5m＜x′+L=9.5m，
此時(shí)物塊仍在滑板上，距離滑板右端C的距離：d=L-（x-x′）=7-（7.5-2.5）=2m，
然后物塊與滑板一起向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)直到滑板被鎖死，
滑板被鎖死后物塊在滑板上向左運(yùn)動(dòng)，然后在圓弧軌道上滑，然后再返回滑板向右運(yùn)動(dòng)，直到靜止，
從滑板被鎖死到物塊靜止的整個(gè)過(guò)程中，對(duì)物塊，由動(dòng)能定理得：
-μmgs=0-$\frac{1}{2}$mv_共²，解得：s=2.5m，則物塊最終靜止的位置距滑板C端的距離：
S=L-（s-d）=7-（2.5-2）=6.5m；
答：（1）物塊拋出點(diǎn)A點(diǎn)距滑板上表面的高度H為4m；
（2）物塊最終靜止時(shí)的位置到C點(diǎn)的距離S為6.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求高度與距離問(wèn)題，本題是一道力學(xué)綜合題，物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，本題難度較大，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是本題解題的關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律即可解題．