Question

地球和某行星在同一軌道平面內(nèi)同向繞太陽做勻速圓周運動．地球的軌道半徑為R=1.50×10¹¹m，運轉(zhuǎn)周期為T=3.16×107s．地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球?qū)υ撔行堑挠^察視角（簡稱視角）．當(dāng)行星處于最大視角處時，是地球上的天文愛好者觀察該行星的最佳時期，如圖甲或圖乙所示，該行星的最大視角θ=14.5°．求：
（1）該行星的軌道半徑r和運轉(zhuǎn)周期T₁（sin14.5°=0.25，最終計算結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字）
（2）若已知地球和行星均為逆時針轉(zhuǎn)動，以圖甲和圖乙為初始位置，分別經(jīng)過多少時間能再次出現(xiàn)觀測行星的最佳時期．（最終結(jié)果用T、T₁、θ 來表示）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)?shù)厍蚺c行星的連線與行星軌道相切時，視角最大，根據(jù)幾何關(guān)系求出行星的軌道半徑，再通過開普勒第三定律求出運轉(zhuǎn)的周期．
（2）地球和行星均為逆時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)再次出現(xiàn)觀測行星的最佳時期時角度存在這樣的關(guān)系，ωt-ω₁t=（π±2θ），根據(jù)該關(guān)系求出再次出現(xiàn)觀測行星的最佳時期的時間．

解答：解：（1）由題意當(dāng)?shù)厍蚺c行星的連線與行星軌道相切時，視角最大
可得行星的軌道半徑r為：r=Rsinθ代入數(shù)據(jù)得r=3.8×10¹⁰m
設(shè)行星繞太陽的運轉(zhuǎn)周期為T′，由開普勒第三定律：有

R3

T2

=

r3

T 2 1

代入數(shù)據(jù)得T′=4.0×10⁶s
（2）當(dāng)再次出現(xiàn)觀測行星的最佳時期時角度關(guān)系為：ωt-ω₁t=（π±2θ），
即

2π

T

t-

2π

T1

t=π±2θ
解得：t=

(π±2θ)TT1

2π(T-T1)

．
答：（1）該行星的軌道半徑r和運轉(zhuǎn)周期T₁分別為3.8×10¹⁰m、4.0×10⁶s．
（2）經(jīng)過

(π±2θ)TT1

2π(T-T1)

再次出現(xiàn)觀測行星的最佳時期．

點評：本題對數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，會根據(jù)幾何關(guān)系求出行星的軌道半徑，以及會通過角度關(guān)系求出再次出現(xiàn)觀測行星的最佳時期的時間．