Question

一個(gè)豎直放置的光滑圓環(huán)，半徑為R，c、e、b、d分別是其水平直徑和豎直直徑的端點(diǎn)．圓環(huán)與一個(gè)光滑斜軌相接，如圖所示．一個(gè)小球從與d點(diǎn)高度相等的a點(diǎn)從斜軌上無初速下滑．試求：
（1）過b點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力N_b多大？
（2）小球能否過d點(diǎn)，如能，在d點(diǎn)對(duì)軌道壓力N_d多大？如不能，小球于何處離開圓環(huán)？

Answer 1

分析：（1）從a運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出到達(dá)b點(diǎn)的速度，在b點(diǎn)根據(jù)向心力公式列式即可求解；
（2）先根據(jù)機(jī)械能守恒定律判斷小球能不能到達(dá)d點(diǎn)，若不能，則小球做斜拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及幾何關(guān)系結(jié)合向心力公式即可求解從何處脫離軌道．

解答：解：（1）因?yàn)閺腶運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，
則  mgha=

1

2

m

v

2 b

                             
解得：

v

2 b

=2gha=4gR
在b點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
Nb-G=m

vb2

R

解得：Nb=mg+m

v 2 b

R

=mg+m

4gR

R

=5mg
（2）小球如能沿圓環(huán)內(nèi)壁滑動(dòng)到d點(diǎn)，表明小球在d點(diǎn)仍在做圓周運(yùn)動(dòng)，則Nd+G=m

vd2

R

由上式可見，G是恒量，隨著v_d的減小，N_d減��；
當(dāng)Nd已經(jīng)減小到零（表示小球剛能到d點(diǎn)，但球與環(huán)頂已是接觸而無擠壓，處于“若即若離”狀態(tài)）時(shí)，vd=

gR

是能過d點(diǎn)的最小速度．如小球速度低于這個(gè)速度，
就不可能沿圓環(huán)到達(dá)d點(diǎn)．這就表明小球如能到達(dá)d點(diǎn)，其機(jī)械能至少應(yīng)是
Ed=mghd+

1

2

m

v

2 d

但是，小球在a點(diǎn)出發(fā)的機(jī)械能僅有E_a=mgh_a=mgh_d＜E_d
因此小球不可能到達(dá)d點(diǎn)．                                
由于hc=

1

2

h_a，E_a=E_d
所以mgha=mghc+

1

2

m

v

2 c

因此，v_c＞0，即小球從b滑到c點(diǎn)時(shí)仍有沿切線向上的速度，所以小球一定是在c、d之間的某點(diǎn)s離開圓環(huán)的．設(shè)半徑Os與豎直方向夾α角，
則由圖可見，小球高度h_s=（1+cosα）R
根據(jù)機(jī)械能守恒定律小球到達(dá)S點(diǎn)的速度V_S應(yīng)符合：
mgha=mghs+

1

2

m

v

2 s

v

2 s

=2g(ha-hs)
所以

v

2 s

=2gR(1-cosα)①
小球從s點(diǎn)開始脫離圓環(huán)，所以圓環(huán)對(duì)小球已無彈力，僅由重力G
沿半徑方向的分力G₁提供向心力，即F_心=G₁=mgcosα，亦即mgcosα=m

vs2

R

②
將①式代入②式得     mgcosα=2mg（1-cosα）    
cosα=

2

3

                              
所以hs=(1+cosα)?R=

5

3

R
所以，小球到達(dá)高度為

5

3

R的s點(diǎn)開始脫離圓環(huán)，做斜上拋運(yùn)動(dòng)．
答：（1）過b點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力N_b為5mg；（2）小球能不能過d點(diǎn)，小球到達(dá)高度為

5

3

R的s點(diǎn)開始脫離圓環(huán)，做斜上拋運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、向心力公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們學(xué)會(huì)判斷能否到達(dá)最高點(diǎn)的方法并能結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度較大．