Question

20．一顆距離地面高度等于地球半徑R的人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星軌道平面與赤道平面重合，已知地球表面重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）求出此衛(wèi)星繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T；
（2）設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，該衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，則在赤道上某一點(diǎn)的人能連續(xù)接收到該衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)的時(shí)間是多少？（如圖，赤道上的人在B點(diǎn)時(shí)恰好可收到A點(diǎn)的衛(wèi)星發(fā)生的微波信號(hào)．）

Answer 1

分析 利用萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力即$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，求解T．
當(dāng)衛(wèi)星與觀察者的連線與觀察者所在的地球的半徑垂直時(shí)觀察者開始看到衛(wèi)星，當(dāng)衛(wèi)星與人的連線與人所在的地球的半徑垂直時(shí)人對(duì)衛(wèi)星的觀察結(jié)束，根據(jù)幾何關(guān)系和周期公式求解．

解答 解：（1）利用萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力即：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
r=2R，
處于地球表面的物體所受的重力約等于地球?qū)λ娜f(wàn)有引力：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
（2）設(shè)人在B₁位置剛好看見衛(wèi)星出現(xiàn)在A₁位置，最后在B₂位置剛好看見衛(wèi)星消失在A₂位置．
OA₁=2OB₁，設(shè)從B₁到B₂時(shí)間為t，顯然有：$\frac{2π}{3}$+$\frac{t}{{T}_{0}}$•2π=$\frac{t}{T}$•2π
解得：t=$\frac{{T}_{0}}{3（\frac{{T}_{0}}{4π}\sqrt{\frac{g}{2R}-1}）}$．
答：（1）求出此衛(wèi)星繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度是$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，周期是4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
（2）在赤道上某一點(diǎn)的人能連續(xù)接收到該衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)的時(shí)間是$\frac{{T}_{0}}{3（\frac{{T}_{0}}{4π}\sqrt{\frac{g}{2R}-1}）}$．

點(diǎn)評(píng) 在地球的質(zhì)量不知而地球表面的重力加速度已知時(shí)，要用黃金代換公式表示地球的質(zhì)量，這是我們經(jīng)常使用的方法，要注意掌握．