Question

1．如圖所示，在半徑為b（大小未知）的圓形區(qū)域內(nèi)，固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的彈性等邊三角形框架DEF，其中心O位于磁場(chǎng)區(qū)域的圓心．在三角形框架DEF與圓周之間的空間中，充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的均勻磁場(chǎng)，其方向垂直紙而向里．在三角形DEF內(nèi)放置平行板電容器MN，兩板間距為d，N板緊靠EF邊，N板及EF中點(diǎn)S處均開有小孔，在兩板間靠近M板處有一質(zhì)量為m，電量為q （q＞0）的帶電粒子由靜止釋放，粒子經(jīng)過S處的速度大小為v=$\frac{qBL}{2m}$，方向垂直于EF邊并指向磁場(chǎng)．若粒子與三角形框架的碰撞均為彈性碰撞，且粒子在碰撞過程中質(zhì)量、電量均不變，不計(jì)帶電粒子的重力，平行板電容器MN產(chǎn)生的電場(chǎng)僅限于兩板間，求：
（1）MN間勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大��；
（2）若從S點(diǎn)發(fā)射出的粒子能再次返回S點(diǎn)，則圓形區(qū)域的半徑b至少為多大？
（3）若圓形區(qū)域的半徑b滿足第（2）問的條件，則從M板處出發(fā)的帶電粒子第一次返回M板處的時(shí)間是多少．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求出MN間勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大��；
（2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，只受洛倫茲力作用，由洛倫茲力提供向心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，由結(jié)合幾何關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求出圓形區(qū)域的半徑b的最小值；
 （3）根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，找到圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)周期公式，求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；帶電粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，兩個(gè)時(shí)間相加得出運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
               由動(dòng)能定理：$Eqd=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
                得：$E=\frac{{qB}^{2}{L}^{2}}{8dm}$； 
       （2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，
                       
               由洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
                                                $r=\frac{mv}{qB}=\frac{L}{2}$
               粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)圓內(nèi)切時(shí)磁場(chǎng)圓半徑最小，
               由幾何關(guān)系得：
                $_{min}=r+\frac{\sqrt{3}}{3}L=（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}）L$
        （3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
           由運(yùn)動(dòng)軌跡知粒子在磁場(chǎng)中重復(fù)運(yùn)動(dòng)三次，圓心角為300°，
           粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：${t}_{1}=3×\frac{300°}{360°}T=3×\frac{5}{6}T=\frac{5πm}{qB}$，
           帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由M到N和N到M的時(shí)間相等，
           粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的平均速度：$\overline{v}=\frac{v}{2}$，
           粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：${t}_{2}=2×\fraczi5dsob{\overline{v}}=\frac{8md}{BqL}$，
           則粒子運(yùn)動(dòng)一周的總時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{5πm}{qB}+\frac{8md}{qBL}$，
答：（1）MN間勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為$E=\frac{{qB}^{2}{L}^{2}}{8dm}$；
       （2）圓形區(qū)域的半徑b的最小值為$_{min}=（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}）L$；
       （3）粒子從M板處出發(fā)的帶電粒子第一次返回M板處的時(shí)間是$t=\frac{5πm}{qB}+\frac{8md}{qBL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的周期性運(yùn)動(dòng)問題，綜合性較強(qiáng)，熟練應(yīng)用動(dòng)能定理和牛頓運(yùn)動(dòng)定律是解決帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵；而畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，找?guī)缀侮P(guān)系結(jié)合洛倫茲力提供向心力立方程，則是解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵；第三問要求第一次返回到M板的時(shí)間，讀題過程容易理解成第一次回到S點(diǎn)的時(shí)間，是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．