Question

10．如圖為一個(gè)四星系統(tǒng)，依靠四顆星間的相互作用，維持穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其中三顆星質(zhì)量均為m的星體，A、B、C等間隔分布在半徑為r的圓軌道上并做同向的圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為M的星體D在圓軌道的圓心上，該星體的半徑為R，另外三顆星體的半徑可以忽略不計(jì)，忽略其他星體對(duì)四顆星的引力作用，則下列說法正確的是（　�。�

• A． A、D星體間的引力大小為$\frac{GMm}{（r-R）^{2}}$
• B． A、B星體間的引力大小為$\frac{G{m}^{2}}{3{r}^{2}}$
• C． 星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的向心大小為G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
• D． 星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{3M+\sqrt{3}m}}$

Answer 1

分析 星體間的引力可根據(jù)萬有引力定律求解．星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由其他三個(gè)星體引力的合力提供．根據(jù)向心力公式求解周期．

解答 解：A、A、D星體間的距離為r，則A、D星體間的引力大小為 $\frac{GMm}{{r}^{2}}$，故A錯(cuò)誤．
B、A、D星體間的距離為2rsin60°，A、B星體間的引力大小為 $\frac{G{m}^{2}}{（2rsin60）^{2}}$=$\frac{G{m}^{2}}{3{r}^{2}}$，故B正確．
C、星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由其他三個(gè)星體引力的合力提供，為
F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+2•$\frac{G{m}^{2}}{3{r}^{2}}$•cos30°=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{r}^{2}}$，故C錯(cuò)誤．
D、對(duì)于C：F=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{3M+\sqrt{3}m}}$，故D正確．
故選：BD．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，ABC中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．