Question

6．如圖甲所示，質(zhì)量和電荷量均相同的帶正電的粒子連續(xù)從小孔O₁進(jìn)入電壓U₀=50V的加速電場(chǎng)區(qū)（初速度可忽略不計(jì)），加速后由小孔O₂沿豎直放置的平行金屬板ab中心線射入金屬板間的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)，然后再進(jìn)入平行金屬板a、b下面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，最后打到感光片上．已知平行金屬板a、b間的距離d=0.15m，兩板間的電壓U隨時(shí)間t變化的隨時(shí)間變化的U-t圖線圖線如圖乙所示，且a板電勢(shì)高于b板電勢(shì)．磁場(chǎng)的上邊界MN與金屬板ab下端相平，且與O₁、O₂連線垂直，交點(diǎn)為O，磁場(chǎng)沿水平方向，且與a、b板間的電場(chǎng)方向垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0×10^-2T．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)，最后打在沿MN水平放置的感光片上，打在感光片上形成一條亮線P₁P₂，P₁到O點(diǎn)的距離x₁=0.15m，P₂到O點(diǎn)的距離 x₂=0.20m．電場(chǎng)區(qū)可認(rèn)為只存在于金屬板間，帶電粒子通過電場(chǎng)區(qū)的時(shí)間極短，可以認(rèn)為粒子在這一運(yùn)動(dòng)過程中平行金屬板a、b間的電壓不變，不計(jì)粒子受到的重力和粒子間的相互作用力．

（1）已知t=0時(shí)刻進(jìn)入平行金屬板a、b間的帶電粒子打在感光片上的P₂點(diǎn)，求帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；（保留兩位有效數(shù)字）
（2）對(duì)任何時(shí)刻射入平行金屬板a、b間的帶電粒子，證明其射入磁場(chǎng)時(shí)的入射點(diǎn)和打到感光片上的位置之間的距離△x為定值；
（3）設(shè)打到P₁點(diǎn)的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，打到P₂點(diǎn)的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則兩時(shí)間之差（△t=t₁-t₂）為多大？（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子離開加速電場(chǎng)時(shí)的速度，再幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解即可；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后再進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，找出粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角度間的關(guān)系然后求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出兩種情況下半徑間的距離，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)和做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求解．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過加速電場(chǎng)從小孔O₂射出時(shí)的速度為v₀，則依據(jù)動(dòng)能定理，有：
qU₀=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
當(dāng)U=0時(shí)，粒子以速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)P₂點(diǎn)，軌跡半徑R₀=$\frac{{x}_{2}}{2}$；
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$
解得帶電粒子的比荷：$\frac{q}{m}$=$\frac{8{U}_{0}}{{B}^{2}{x}_{2}^{2}}$=1.0×10⁸ C/kg
（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與O₁O的夾角為θ，則速度大小v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m{v}_{0}}{qBcosθ}$
由幾何關(guān)系得△x=2Rcosθ=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
即△x與θ無關(guān)，為定值．
（3）由（2）可知，帶電粒子在平行金屬板a、b間的最大偏移量y=x₂-x₁=0.05 m，
對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)電壓U=50V
帶電粒子進(jìn)入平行金屬板a、b時(shí)的速度v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$=1.0×10⁵ m/s
設(shè)偏移量最大的帶電粒子離開平行金屬板a、b時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理：
q$\frac{yU}bbxw7oc$=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：
v=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$×10⁵m/s
所帶電粒子離開平行金屬板a、b時(shí)的速度偏轉(zhuǎn)角θ=arccos$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{π}{6}$
偏移量最大的在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角α=$\frac{4}{3}π$
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=$\frac{2}{3}$T
當(dāng)電壓為零時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=$\frac{1}{2}$T
帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
所以，△t=t₁-t₂=$\frac{1}{6}$T
答：（1）帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$為1.0×10⁸ C/kg；
（2）證明如上；
（3）設(shè)打到P₁點(diǎn)的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，打到P₂點(diǎn)的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則兩時(shí)間之差為$\frac{T}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用動(dòng)能定理、類平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)、牛頓定律即可正確解題；本題難度較大，是一道難題．