Question

15．如圖所示，某高臺的上面有一豎直的圓弧形光滑軌道，軌道半徑R=5/4m，軌道端點B的切線水平．一質(zhì)量M=5kg的金屬滑塊（可視為質(zhì)點）由軌道頂端A由靜止釋放，離開B點后經(jīng)時間t=1s撞擊在斜面上的P點．已知斜面的傾角θ=37°，斜面底端C與B點的水平距離x₀=3m．g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計空氣阻力．
（1）求金屬滑塊M運動至B點時對軌道的壓力大�。�
（2）若金屬滑塊M離開B點時，位于斜面底端C點、質(zhì)量m=1kg的另一滑塊在沿斜面向上的恒定拉力F作用下由靜止開始向上加速運動，恰好在P點被從B點拋出的M擊中．已知滑塊m與斜面間動摩擦因數(shù)μ=0.25，求拉力F大�。�
（3）若第（2）問中滑塊m與滑塊M碰撞時間不計，滑塊m在斜面上運動時上表面水平．在P點碰撞后，滑塊M豎直方向上的速度大小不變，方向與碰前相反，其水平方向的速度保持不變，假設滑塊m的速度在碰撞過程中也保持不變，現(xiàn)同時改變沿斜面向上的拉力的大小使滑塊m仍沿斜面向上做勻加速運動，為了使滑塊M再次下落到斜面上時恰好與滑塊m相碰，求它們第一次相碰到第二次相碰的時間t'及拉力F'的大小．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律求出滑塊到達B點時的速度，然后由牛頓第二定律求出軌道對滑塊的支持力，再由牛頓第三定律求出滑塊對B的壓力．
（2）由平拋運動知識求出M的水平位移，然后由幾何知識求出M的位移，由運動學公式求出M的加速度，由牛頓第二定律求出拉力大�。�
（3）由牛頓第二定律求出加速度，由運動學公式和幾何關(guān)系可以求出滑塊的運動時間．

解答 解：（1）從A到B過程，由機械能守恒定律得：MgR=$\frac{1}{2}M{v}^{2}$①
在B點，由牛頓第二定律得：F-Mg=$\frac{M{v}^{2}}{R}$  ②
聯(lián)立①②并帶入數(shù)據(jù)解得：F=150 N　
由牛頓第三定律可知，滑塊對B點的壓力F'=F=150 N．　
（2）滑塊M離開B后做平拋運動，水平方向位移為x：x=v_Bt
設滑塊m的位移為s，由幾何知識可知：scosθ+x₀=x　
代入數(shù)據(jù)解得：x=5 m，s=2.5 m　
設滑塊m向上運動的加速度為a，
由勻變速運動的位移公式有：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$　則$a=\frac{2s}{{t}^{2}}$ 
解得：a=5 m/s²　
對滑塊m，由牛頓第二定律得：F-mgsin 37°-μmgcos 37°=ma　
帶入數(shù)據(jù)解得：F=13 N．　
（3）由（2）知：對滑塊M：滑塊M與滑塊m第一次碰前的瞬間，在水平方向：v_x=v_B=5m/s
在豎直方向：v_y=gt=10 m/s（方向豎直向下）　
滑塊M與滑塊m第一次碰后的瞬間，在水平方向：=v_x=5m/s
在豎直方向：=v_y=10 m/s（方向豎直向上）　
滑塊M與滑塊m第一次碰后做斜拋運動，直到再次落到斜面上與m再次碰撞．
設滑塊M在空中運動時間t'，由幾何關(guān)系得：$tan37°=\frac{y}{x}$  其中 $y={v}_{y}=\frac{1}{2}g{t}^{′2}$     x=v_Bt′
代入數(shù)據(jù)解得 t′=1.25s
對滑塊m，設第二次落點與P點間的距離s'，則$s′=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$帶入數(shù)據(jù)解得$s′=\frac{125}{16}$m
由運動學公式，v=at和s'=vt'+$\frac{1}{2}$a't'²
解得：a'=2m/s²　
又由牛頓第二定律，可得F'-mgsin 37°-μmgcos 37°=ma'
解得：F'=10 N．　
答：（1）金屬滑塊M運動到B點時對軌道的壓力大小150N；
（2）拉力F大小為13N
（3）第一次碰撞到第二次碰撞的時間t′為1.25s，拉力F′的大小為10N

點評 本題是多體多過程問題，分析清楚物體運動過程是正確解題的關(guān)鍵，應用機械能守恒定律、牛頓定律、運動學公式即可正確解題