Question

如圖（ａ）所示，Ａ、Ｂ為水平放置的平行金屬板，板間距離為ｄ（ｄ遠小于板的長和寬）．在兩板之間有一帶負電的質點Ｐ．已知若在Ａ、Ｂ間加電壓Ｕ_o，則質點Ｐ可以靜止平衡．現在Ａ、Ｂ間加上如圖（ｂ）所示的隨時間ｔ變化的電壓ｕ．在ｔ＝0時質點Ｐ位于Ａ、Ｂ間的中點處且初速為零．已知質點Ｐ能在Ａ、Ｂ之間以最大的幅度上下運動而又不與兩板相碰，求圖（ｂ）中ｕ改變的各時刻ｔ_１、ｔ_２、ｔ_３及ｔ_ｎ的表達式．（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次．）

Answer 1

解：設質點Ｐ的質量為ｍ，電量大小為，根據題意，當Ａ、Ｂ間的電壓為時，有

／ｄ＝ｍｇ，
當兩板間的電壓為2Ｕ_０時，Ｐ的加速度向上，其大小為ａ，則
（ｑ2／ｄ）－ｍｇ＝ｍａ，
解得ａ＝ｇ．
當兩板間的電壓為零時，Ｐ自由下落，加速度為ｇ，方向向下．
在ｔ＝0時，兩板間的電壓為2，Ｐ自Ａ、Ｂ間的中點向上做初速度為零的勻加速運動，加速度為ｇ．設經過時間τ_１，Ｐ的速度變?yōu)?sub>，此時使電壓變?yōu)榱�，讓Ｐ在重力作用下做勻減速運動，再經過時間τ_１′，Ｐ正好到達Ａ板且速度為零，故有
＝ｇτ_１，0＝－ｇτ_１′，
（1／2）ｄ＝（1／2）ｇτ_１^２＋τ_１′－（1／2）ｇτ_１′^２，
由以上各式，得
τ_１＝τ_１′，τ_１＝（／2），
因為ｔ_１＝τ_１，得ｔ_１＝（／2）．
在重力作用下，Ｐ由Ａ板處向下做勻加速運動，經過時間τ_２，速度變?yōu)椋?sub>２，方向向下，這時加上電壓使Ｐ做勻減速運動，經過時間τ_２′，Ｐ到達Ｂ板且速度為零，故有
ｖ_２＝ｇτ_２，0＝ｖ_２－ｇτ_２′，
ｄ＝（1／2）ｇτ_２^２＋ｖ_２τ_２′－（1／2）ｇτ_２′^２，
由以上各式，得τ_２＝τ_２′，τ_２＝，
因為ｔ_２＝ｔ_１＋τ_１′＋τ_２，
得ｔ_２＝（＋1）．
在電場力與重力的合力作用下，Ｐ由Ｂ板處向上做勻加速運動，經過時間τ_３，速度變?yōu)椋?sub>３，此時使電壓變?yōu)榱�，讓Ｐ在重力作用下做勻減速運動．經過時間τ_３′，Ｐ正好到達Ａ板且速度為零，故有
ｖ_３＝ｇτ_３，0＝ｖ_３－ｇτ_３′，
ｄ＝（1／2）ｇτ_３^２＋ｖ_３τ_３′－（1／2）ｇτ_３′^２
由上得τ_３＝τ_３′，τ_３＝，
因為ｔ_３＝ｔ_２＋τ_２′＋τ_３，
得ｔ_３＝（＋3）．
根據上面分析，因重力作用，Ｐ由Ａ板向下做勻加速運動，經過時間τ_２，再加上電壓，經過時間τ_２′，Ｐ到達Ｂ且速度為零，因為ｔ_４＝ｔ_３＋τ_３′＋τ_２，
得ｔ_４＝（＋5）．

同樣分析可得：ｔ_ｎ＝（＋2ｎ－3）．（ｎ≥2）