Question

19．如圖所示，一輕繩繞過無摩擦的兩個輕質(zhì)小定滑輪О₁、О₂和質(zhì)量m_P=m的小球P連接，另一端質(zhì)量m_Q=m的小物塊Q連接，小物塊Q套于兩直桿AC、DE和一段圓弧CD組成的固定光滑軌道ABCDE上．直桿AC與豎直墻夾角θ=45°，直桿DE水平，兩桿分別與O_l為圓心，R為半徑的圓弧連接并相切于C、D兩點，軌道與兩定滑輪在同一豎直平面內(nèi)．直桿B點與兩定滑輪均在同一高度，重力加速度為g，小球運動過程中不會與其他物體相碰，現(xiàn)將小物塊Q從B點由靜止釋放，在C、D點時無機械能損失．試求：
（1）小物塊Q的最大機械能（取B點所在的水平面為參考平面）；
（2）小物塊Q滑至O₁正下方D點時對圓弧軌道的彈力？
（3）小物塊Q能到達DE桿最遠的位置距D的距離？

Answer 1

分析 首先知道兩物體為繩連接體，分析物體的運動情況，找出臨界點，利用機械能守恒定律和牛頓第二定律聯(lián)合求解即可．

解答 解：（1）當物塊滑至C點時，P球下降至最低點，且此時v_p=0，
由機械能守恒定律有：E_Q=m_pgh=mgh，
據(jù)幾何關(guān)系可知：h=$\overline{{O}_{1}B}\\;-\overline{{O}_{1}C}$-$\overline{{O}_{1}C}$=$\frac{R}{cos45°}-R$
解得：E_Q=（$\sqrt{2}-1$）mgR…①
（2）小物塊從C到D過程中，小物塊做圓周運動，故繩子不做功，球P始終靜止，物塊Q機械能守恒，
則E_Q=-mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$…②
在D點，物體受到繩子拉力T，軌道的支持力N，重力mg，
由牛頓第二定律：T+N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$…③
對于P小球有：T=mg   
聯(lián)立①②③解得：N=2$\sqrt{2}mg$，方向向上．
由牛頓第三定律：物塊對軌道的彈力N′=2$\sqrt{2}mg$，方向向下
（3）小物塊滑過D點后，小球P將上升，物塊Q滑離D最遠距離x，此時兩者速度均為零．P、Q組成的系統(tǒng)機械能守恒有：mgR=mg（$\sqrt{{x}^{2}+{R}^{2}}-\sqrt{2}R$
解得：x=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}R$
答：（1）小物塊Q的最大機械能為（$\sqrt{2}-1$）mgR；
（2）小物塊Q滑至O₁正下方D點時對圓弧軌道的彈力=2$\sqrt{2}mg$，方向向下
（3）小物塊Q能到達DE桿最遠的位置距D的距離x=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}R$．

點評 解決本題的關(guān)鍵是能分析兩物體的運動情況，知道在C點兩者的速度為零；靈活應用機械能守恒三種表示方法列方程求解，物理情景復雜，難度較大．