Question

2．在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的光滑圓環(huán)軌道，一質(zhì)量為m的小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)的速率V_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，則下述正確的是（　　）

• A． 此球的最大速率是$\sqrt{6}$V_c
• B． 小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是$\frac{4mg}{5}$
• C． 小球在任一直徑兩端點(diǎn)上的動(dòng)能之和相等
• D． 小球沿圓軌道繞行一周所用的時(shí)間小于π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$

Answer 1

分析 小球運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，小球在最低點(diǎn)時(shí)具有最大速率；
根據(jù)牛頓第二定律和牛頓第三定律求小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；

解答 解：A、根據(jù)機(jī)械能守恒：mg2R+$\frac{1}{2}$mv_c²=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{\frac{24gR}{5}}$=$\sqrt{6}$v_c
A正確；
B、對(duì)小球在C點(diǎn)時(shí)，根據(jù) 牛頓第二定律：mg+F=m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$
得：F=$\frac{1}{5}$mg
根據(jù)牛頓第三定律小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是$\frac{1}{5}$mg；B錯(cuò)誤；
C、小球在運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，小球在任一直徑兩端點(diǎn)上的動(dòng)能之和相等，C正確；
D、由周期T=$\frac{2πR}{v}$，當(dāng)圓環(huán)以速度最小v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)周期最小，v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$代入T=$\frac{2πR}{v}$，計(jì)算可得T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，由于小球離開最高點(diǎn)后速度在變大，所以T要減小，所以T＜T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，故D正確．
故選：ACD．

點(diǎn)評(píng) 小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，屬于桿的模型，在最高點(diǎn)時(shí)速度最小，向心力最小，最低點(diǎn)時(shí)速度最大，向心力最大，由機(jī)械能守恒可以求它們之間的關(guān)系．