Question

17．某行星自轉周期為T，赤道半徑為R，研究發(fā)現(xiàn)若該行星自轉角度速度變?yōu)樵瓉淼膬杀秾�導致該行星赤道上物體恰好對行星表明沒有壓力，已知萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的質量M；
（2）該行星的同步衛(wèi)星軌道半徑r．

Answer 1

分析 由“該行星自轉角速度變?yōu)樵瓉韮杀秾�導致該星球赤道上物體將恰好對行星表面沒有壓力”可知此時重力充當向心力，赤道上的物體做勻速圓周運動，據(jù)此可得該星球的質量．同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉周期，由萬有引力提供向心力的周期表達式可得同步衛(wèi)星的軌道半徑．

解答 解：（1）赤道上物體對行星表面無壓力，則G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR[$\frac{2π}{\frac{T}{2}}$]²；
得：M=$\frac{8π{R}^{3}}{G{T}^{2}}$ 
（2）同步衛(wèi)星的周期為T   
則 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr $\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
代入M得：r=$\root{3}{\frac{1}{π}}$R
答：（1）某行星的質量$\frac{8π{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）某行星的同步衛(wèi)星軌道半徑$\root{3}{\frac{1}{π}}$R．

點評 行星自轉的時候，地面物體萬有引力等于重力沒錯，但是不是重力全部用來提供向心力，而是重力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物體恰好對行星表面沒有壓力”時重力獨自充當向心力．