Question

有一個(gè)固定豎直放置的圓形軌道，半徑為R，由左右兩部分組成．如圖所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．現(xiàn)在最低點(diǎn)A給一質(zhì)量為m的小球一個(gè)水平向右的初速度，使小球沿軌道恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)B，小球在B點(diǎn)又能沿BFA回到A點(diǎn)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為4mg．求
（1）小球的初速度V₀
（2）由B經(jīng)F回到A的過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：1、給小球一初速度后，小球沿AEB做圓周運(yùn)動(dòng)，小球恰好過(guò)最高點(diǎn)，故在最高點(diǎn)B處只受重力，由mg=

mvB2

R

解得小球在B點(diǎn)的速度vB=

gR

．解決該題關(guān)鍵在于此．然后有動(dòng)能定理或機(jī)械能守衡定律解出v₀．
2、在最低點(diǎn)A、小球受到的支持力和重力的合力充當(dāng)向心力．由此可以解出v_A．再由動(dòng)能定理即可解出摩擦力作的功．

解答：解：（1）由于小球恰好到達(dá)B點(diǎn)，
故小球沿AEB到B點(diǎn)的速度是mg=

mvB2

R

，
解得：vB=

gR

由動(dòng)能定理：

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

=-mg2R
解得：v0=

5gR

 
（2）由于回到A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力為4mg，對(duì)小球受力分析：小球受到豎直向下的重力mg和豎直向上的支持力4mg．支持力和重力的合力充當(dāng)向心力．根據(jù)牛頓定律：
4mg-mg=

m v 2 A

R

，解得：vA=

3gR

；
小球由B經(jīng)F回到A的過(guò)程中，
由動(dòng)能定理：2mgR-Wf=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 B

和vA=

3gR

，vB=

gR

三式聯(lián)立解得：
W_f=mgR
答：（1）小球的初速度v0為

gR

；
   （2）由B經(jīng)F回到A的過(guò)程中克服摩擦力所做的功為mgR．

點(diǎn)評(píng)：該題為圓周運(yùn)動(dòng)和機(jī)械能的結(jié)合，只要掌握了相關(guān)知識(shí)，挖掘出題中的關(guān)鍵字句隱含的條件，運(yùn)用圓周運(yùn)動(dòng)和機(jī)械能的知識(shí)即可解決．