Question

18．2013年我國(guó)相繼完成“神十”與“天宮”對(duì)接，“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大工程．某航天愛(ài)好者提出“玉兔”回家的設(shè)想：如圖所示，將攜帶“玉兔”的返回系統(tǒng)由月球表面發(fā)射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的飛船對(duì)接，然后由飛船送“玉兔”返回地球，已知“玉兔”質(zhì)量為m，月球半徑為R，月球的質(zhì)量為M，引力常量為G，以月球表面為零勢(shì)能面，“玉兔”在h高度的引力勢(shì)能可表示為E_p=$\frac{GMmh}{R（R+h）}$，忽略月球的自轉(zhuǎn)．求：
（1）月球的第一宇宙速度；
（2）從開(kāi)始發(fā)射到對(duì)接完成，返回系統(tǒng)需要對(duì)“玉兔”做的功．

Answer 1

分析 （1）月球第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）先根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，以及重力等于萬(wàn)有引力，求出“玉兔”繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，再根據(jù)功能關(guān)系求解需要對(duì)“玉兔”做的功．

解答 解：（1）設(shè)月球第一宇宙速度為v，萬(wàn)有引力提供向心力，得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
（2）設(shè)“玉兔”在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為E_k，萬(wàn)有引力提供向心力，得：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{GMm}{2（R+h）}$
由題意得：${E}_{p}=\frac{GMmh}{R（R+h）}$
所以從開(kāi)始發(fā)射到對(duì)接完成需要對(duì)“玉兔”做的功，有：W=E_k+E_p
解得：W=$\frac{GMm（R+2h）}{2R（R+h）}$
答：（1）月球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）從開(kāi)始發(fā)射到對(duì)接完成，返回系統(tǒng)需要對(duì)“玉兔”做的功為$\frac{GMm（R+2h）}{2R（R+h）}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．