Question

【題目】如圖所示，一個(gè)足夠長(zhǎng)的斜面，AC部分的長(zhǎng)度為4L，C點(diǎn)以下光滑，C點(diǎn)以上粗糙，B是AC的中點(diǎn)。一根原長(zhǎng)為2L的輕彈簧下端固定在A點(diǎn)，上端放置一個(gè)長(zhǎng)為L、質(zhì)量為m的均勻木板PQ，木板靜止時(shí)，彈簧長(zhǎng)度變?yōu)?/span>L。已知斜面的傾角為，木板與斜面粗糙部分的動(dòng)摩擦因數(shù)，木板受到的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g�，F(xiàn)將木板沿斜面緩慢下壓，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度變?yōu)?/span>L時(shí)，釋放木板，發(fā)現(xiàn)木板的Q端剛好能到達(dá)C點(diǎn)；將木板截短后，再次將木板沿斜面緩慢下壓，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度變?yōu)?/span>L時(shí)，釋放木板，求：

⑴彈簧的勁度系數(shù)；

⑵若木板被截掉一半，木板上端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

⑶至少要將木板截掉多少，木板被釋放后能靜止在斜面上？

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)

【解析】

當(dāng)木板靜止時(shí)，對(duì)木板受力分析，運(yùn)用平衡條件和胡克定律求彈簧的勁度系數(shù)；木板從被釋放至Q端到C點(diǎn)，利用動(dòng)能定理列式．木板被截掉一半后再被彈簧彈開，再運(yùn)用動(dòng)能定理列式，聯(lián)立可得木板上端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度；木板剩下的越短，被彈簧彈開后越能靜止在斜面上．木板被彈開后恰好可以靜止在斜面上時(shí)，重力沿斜面向下的分力等于最大靜摩擦力．由此列式可得到截掉后剩余木板有一半在C點(diǎn)以上就可靜止在斜面上．再由動(dòng)能定理求解。

⑴當(dāng)木板靜止時(shí)，對(duì)木板受力分析，由力的平衡有

解得彈簧的勁度系數(shù)

⑵木板從被釋放至Q端到C點(diǎn)，設(shè)彈簧彈力做功為W，由動(dòng)能定理有

木板被截掉一半后再被彈簧彈開，設(shè)木板上端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理有

解以上兩式得：

⑶木板剩下的越短，被彈簧彈開后越能靜止在斜面上。

設(shè)木板長(zhǎng)為x時(shí)被彈開后恰好可以靜止在斜面上，此木板必然一部分在C點(diǎn)上方，一部分在C點(diǎn)下方。假設(shè)在C點(diǎn)上方的木板長(zhǎng)度為a，則有

解得

這表明，截掉后剩余木板有一半在C點(diǎn)以上就可靜止在斜面上。剩余木板被彈開后直到靜止的過程中，由動(dòng)能定理有

解得：

即木板被截下的長(zhǎng)度至少為