Question

3．如圖所示，豎直平面內有一軌道由半徑為R的光滑半圓弧ABC部分和水平足夠長的粗糙部分組成，一質量為m的小圓環(huán)套下軌道上運動，與軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，且小圓環(huán)在軌道上受到水平向左、大小不變的恒力作用，離開軌道恒力即消失．已知圓環(huán)從圓弧最高點A有靜止釋放后，最遠能運動到水平軌道上距離C點R的P₁位置．求（重力加速度g）
（1）水平恒力的大小F；
（2）若將小環(huán)從水平軌道上P₂處由靜止釋放，小環(huán)剛好能運動到圓弧最高點A，則小環(huán)運動到圓心等高的B點時受軌道作用的彈力多大．
（3）若如圖虛線所示，在A點右側放置寬和高均為$\frac{R}{2}$的四級臺階，欲使小環(huán)從水平軌道上P₃處由靜止釋放，要求小環(huán)離開A點后，剛好能落在第三級臺階上，則P₃應距C點多遠范圍內釋放？

Answer 1

分析 （1）對A到P₁位置的過程運用動能定理，求出水平恒力F的大小．
（2）對P₂處到最高點的過程運用動能定理，求出P₂處距離C點的距離，再對P₂處到圓心等高點B運用動能定理，求出B點的速度，結合牛頓第二定律求出彈力的大小．
（3）根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出最高點拋出的初速度范圍，再結合動能定理求出P₃應距C點的距離范圍．

解答 解：（1）從A到P₁位置運用動能定理得：mg2R-FR-μmgR=0，
代入數(shù)據(jù)解得：F=1.5mg．
（2）小環(huán)從水平軌道上P₂處由靜止釋放，小環(huán)剛好能運動到圓弧最高點A，即到達A點的速度為零．根據(jù)動能定理得：
Fx-mg•2R-μmgx=0，
解得：x=2R，
小環(huán)運動到圓心等高的B點過程運用動能定理得：$Fx-mgR-μmgx=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：N=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立解得：N=2mg．
（3）小環(huán)離開A點做平拋運動，根據(jù)$tan45°=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，解得：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$，
要求小環(huán)離開A點后，剛好能落在第三級臺階上，則有：$2×\frac{R}{2}＜{v}_{0}t＜3×\frac{R}{2}$，
解得：$\sqrt{\frac{gR}{2}}＜v＜\sqrt{\frac{3gR}{4}}$，
從P₃到A點運用動能定理得：$Fx′-μmgx′-mg2R=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-0$，
解得：$\frac{9R}{4}＜x′＜\frac{19R}{8}$．
答：（1）水平恒力的大小F為1.5mg．
（2）小環(huán)運動到圓心等高的B點時受軌道作用的彈力為2mg．
（3）P₃應距C點的范圍為$\frac{9R}{4}＜x′＜\frac{19R}{8}$．

點評 本題考查了動能定理與牛頓第二定律的綜合運用，涉及到圓周運動、平拋運動，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．