Question

14．豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平滑道AB與光滑的四分之一圓弧滑道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點(diǎn)相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示，已知軌道質(zhì)量M=2kg處于靜止，AB=1m，圓弧軌道半徑R=2.8m，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小物塊從平臺(tái)以速度V₀從A端滑上，小物塊與小車水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，（g取10m/s²）．
（1）若軌道固定不動(dòng)，要使小物塊恰好滑上軌道最高點(diǎn)D，初速度V₀應(yīng)是多少？小滑塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)后再返回C端時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力是多少？小滑塊最后是否能停止在板上？
（2）若軌道不固定，使小物塊恰好滑不上圓弧，初速度V₀是多少？摩擦力對(duì)小物塊做了多少功？這個(gè)過程用了多長(zhǎng)時(shí)間？
（3）若軌道不固定，要使小物塊恰好滑上軌道的最高點(diǎn)，初速度V₀應(yīng)是多少？
（4）若軌道不固定，小物塊滑上軌道沿軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中點(diǎn)，則初速度V₀應(yīng)是多少？

Answer 1

分析 （1）若軌道固定不動(dòng)，要使小物塊恰好滑上軌道最高點(diǎn)D，則到達(dá)D點(diǎn)速度為零，根據(jù)動(dòng)能定理求解初速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求出到達(dá)C點(diǎn)速度，根據(jù)牛頓第二定律求出壓力，根據(jù)動(dòng)能定理求出到達(dá)A點(diǎn)速度，從而判斷能不能停在板上；
（2）若軌道不固定，當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)與木板速度相同，恰好滑不上圓弧，根據(jù)動(dòng)量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度和摩擦力對(duì)小物塊做的功，動(dòng)量定理求解時(shí)間；
（3）若軌道不固定，要使小物塊恰好滑上軌道的最高點(diǎn)，則到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，物塊與木板的水平方向速度相等，豎直方向速度為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度；
（4）若軌道不固定，小物塊滑上軌道沿軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中點(diǎn)，此過程中，根據(jù)動(dòng)量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度．

解答 解：（1）從A到D的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：$0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mgR-μmgl$，解得：v₀=8m/s，
小滑塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)后再返回C端的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgR$，
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：F_N=30N，
物塊從D到A的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-0=mgR-μmgl$
解得：v_A=$4\sqrt{3}m/s$，則小滑塊最后不能停止在板上，
（2）若軌道不固定，當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)與木板速度相同，恰好滑不上圓弧，以向右為正，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v₁，
根據(jù)能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{1}}^{2}=μmgl$
解得：v₀=$2\sqrt{3}m/s$，${v}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}m/s$，
對(duì)物塊，根據(jù)動(dòng)能定理得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=-5.33J，
根據(jù)動(dòng)量定理得：-μmgt=mv₁-mv₀，解得：t=$\frac{\sqrt{3}}{3}s$，
（3）若軌道不固定，要使小物塊恰好滑上軌道的最高點(diǎn)，則到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，物塊與木板的水平方向速度相等，豎直方向速度為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：mv₀=（M+m）v₂，
根據(jù)能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{2}}^{2}=μmgl+mgR$
解得：v₀=$4\sqrt{6}m/s$
（4）若軌道不固定，小物塊滑上軌道沿軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中點(diǎn)，此過程中，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v₃，
根據(jù)能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{3}}^{2}=μmg•\frac{3}{2}l$
解得：v₀=$3\sqrt{2}m/s$
答：（1）若軌道固定不動(dòng)，要使小物塊恰好滑上軌道最高點(diǎn)D，初速度V₀應(yīng)是8m/s，小滑塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)后再返回C端時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力是30N，小滑塊最后不能停止在板上；
（2）若軌道不固定，使小物塊恰好滑不上圓弧，初速度V₀是$2\sqrt{3}m/s$，摩擦力對(duì)小物塊做的功為-5.33J，這個(gè)過程用了$\frac{\sqrt{3}}{3}s$；
（3）若軌道不固定，要使小物塊恰好滑上軌道的最高點(diǎn)，初速度V₀應(yīng)是$4\sqrt{6}m/s$；
（4）若軌道不固定，小物塊滑上軌道沿軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中點(diǎn)，則初速度V₀應(yīng)是$3\sqrt{2}m/s$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律以及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物塊的運(yùn)動(dòng)的情況，知道應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)要規(guī)定正方向，難度適中．