Question

如圖所示，傾角30°的光滑固定斜面的底端安有一個(gè)擋板，斜面上放有一根輕質(zhì)彈簧，彈簧的一端固定在擋板上，另一端連接著質(zhì)量m=0.2kg的小球B，B球平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為x（圖中O點(diǎn)是彈簧不連接B球時(shí)自由端的位置）．今有另一形態(tài)大小和B球相同的A球從距B球6x處的斜面上無(wú)初速度滑下，它與B球碰撞后粘合在了一起，它們沿斜面向下到達(dá)最低點(diǎn)后又沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，其向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)最高點(diǎn)為P點(diǎn)，P到O的距離也為x．若兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，且已知同一根彈簧的彈性勢(shì)能大小僅由彈簧的形變量決定，整個(gè)過(guò)程中彈簧的形變始終未超過(guò)彈性限度，試求：
（1）A球下滑6x即將與B球碰撞時(shí)的A球的速度（假設(shè)題中x是已知量）；
（2）A球的質(zhì)量（假設(shè)題中x是未知量）．

Answer 1

分析：（1）A球下滑6x，與B球碰撞前的過(guò)程，只有重力做功，A球的機(jī)械能守恒，據(jù)此定律列式求解即可．
（2）A與B球碰撞過(guò)程中，遵守動(dòng)量守恒，可列式動(dòng)量守恒方程；碰后，A、B和彈簧組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，再由機(jī)械能守恒定律列出方程，結(jié)合第1問(wèn)的結(jié)果，即可求解A球的質(zhì)量．

解答：解：（1）設(shè)A球的質(zhì)量為M，A與B球碰撞前后，A球的速度分別是v₁和v₂，因A球滑下過(guò)程中，機(jī)械能守恒，有：
   Mg(6x)sin30°=

1

2

M

v

2 1

解得：v1=

6xg

  ①
（2）又因A與B球碰撞過(guò)程中，動(dòng)量守恒，有 Mv1=(m+M)

v

2

  ②
碰后，A、B和彈簧組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒．因碰撞時(shí)彈簧的壓縮量與A、B到達(dá)P點(diǎn)時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量相等，
則有：(m+M)g(2x)sin30°=

1

2

(m+M)

v

2 2

解得：v2=

2xg

  ③
將①、③代入②式解得：M=

(1+ 3 )m

2

  ④
代入數(shù)據(jù)，解得：M=

1+ 3

10

kg
答：
（1）A球下滑6x即將與B球碰撞時(shí)的A球的速度為

6xg

．
（2）A球的質(zhì)量為

1+ 3

10

kg．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程、抓住碰撞時(shí)彈簧的壓縮量與A、B到達(dá)P點(diǎn)時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量相等，彈簧勢(shì)能相等是關(guān)鍵，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律即可正確解題．