Question

5．如圖所示，半徑分別為R=1m，r=0.5m的甲、乙兩圓形軌道放置在同一豎直面內(nèi)，斜面與水平軌道由一小段圓弧軌道相連，兩圓形軌道之間由一個(gè)水平軌道CD相連，小球與CD段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25，其余各段均光滑，現(xiàn)有一小球從光滑斜面上的A點(diǎn)由靜止釋放，那么：
（1）為了是小球能通過(guò)甲軌道的最高點(diǎn)，A點(diǎn)離水平軌道CD的高度H至少為多少？
（2）若小球以第（1）問(wèn)中所求的最小高度由靜止從A點(diǎn)滑下，要是小球能到達(dá)乙軌道的最高點(diǎn)而做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，CD段的長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）先由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求得D最高點(diǎn)的速度，小球從A運(yùn)動(dòng)甲圓形軌道過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球經(jīng)過(guò)甲圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)的位置．
（2）要滿足到達(dá)乙的最高點(diǎn)的速度不小于$\sqrt{gr}$，由動(dòng)能定理求距離．

解答 解：（1）剛好通過(guò)甲的最高點(diǎn)的速度要求：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$　　①
　　　　由A到甲的最高點(diǎn)由機(jī)械能守恒：$mg（H-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$�、�
　　　由以上兩式可得：H=$\frac{5R}{2}$=2.5m　
　�。�2）設(shè)CD的長(zhǎng)度為x，小球在乙軌道最高點(diǎn)的最小速度為${v}_{2}=\sqrt{gr}$
小球剛好通過(guò)乙軌道最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg（\frac{5R}{2}-2r）-μmgx$=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
　　　　得：x=$\frac{5（R-r）}{2μ}$=5m；
答：（1）為了是小球能通過(guò)甲軌道的最高點(diǎn)，A點(diǎn)離水平軌道CD的高度H至少為2.5m；
（2）CD段的長(zhǎng)度為5m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)向心力問(wèn)題，運(yùn)用兩規(guī)律解題時(shí)要合適地選擇研究的過(guò)程進(jìn)行分析求解．