Question

（16分）如圖所示，一根內(nèi)壁光滑的直角三角形玻璃管子處于豎直平面內(nèi)，傾斜角為θ= 37°，讓兩個(gè)小球分別從頂點(diǎn)A由靜止開始出發(fā)，一個(gè)球沿AC滑下，到達(dá)C所用的時(shí)間為t₁，另一個(gè)球豎直自由下落經(jīng)過B到達(dá)C，所用的時(shí)間為t₂，在轉(zhuǎn)彎處有個(gè)極小的光滑圓弧，可確保小球轉(zhuǎn)彎時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，且轉(zhuǎn)彎時(shí)間可以忽略不計(jì)。問：

（1）計(jì)算t₁∶ t₂的值；
（2）若用同樣的玻璃管把ABC軌道改為如圖所示的ADEFC（在轉(zhuǎn)彎處均有個(gè)極小的光滑圓�。�，仍讓小球從A靜止開始運(yùn)動(dòng)，依次通過D、E、F后到達(dá)C點(diǎn)所用時(shí)間為t₃，試定性說明t₃和t₁、t₂的大小關(guān)系。

Answer 1

解：(1)設(shè)內(nèi)壁光滑的直角三角形玻璃管三邊AB、BC、AC分別為3l、4l、5l，由AC邊滑下，根據(jù)牛頓第二定律可得加速度a=gsinθ=6m/s²。
由5l=at₁²，解得t₁=5。
沿ABC滑下，在AB段由3l=gt₂₁²，解得t₂₁=。
沿水平段BC運(yùn)動(dòng)速度，v= gt₂₁=，
由4l=vt₂₂，解得t₂₂=。
t₂= t₂₁ +t₂₂=5。
t₁∶ t₂=1 ∶ 1。
即兩球同時(shí)釋放同時(shí)到達(dá)。
（2）若用同樣的玻璃管把ABC軌道改為如圖所示的ADEFC，若球沿ADEF到C，則可判斷小球在水中管中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相等的。沿DE運(yùn)動(dòng)時(shí)速度比在BC中運(yùn)動(dòng)時(shí)要小，故在水平管中運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，所以沿ABC管運(yùn)動(dòng)時(shí)間比沿ADEFC的時(shí)間要短一些，所以t₃> t₂= t₁.

應(yīng)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列方程解答。