Question

如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M=4.0kg的帶有圓弧軌道的平板車，車的上表面是一段長(zhǎng)L=1.0m的粗糙水平軌道，水平軌道左側(cè)連一半徑R=0.25m 的

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光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在O′點(diǎn)相切．車右端固定一個(gè)尺寸可以忽略、處于鎖定狀態(tài)的壓縮彈簧，一質(zhì)量m=1.0kg的小物塊緊靠彈簧放置，小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)將彈簧解除鎖定，小物塊被彈出，恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A．取g=10m/²，求：
（1）小物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，平板車的速度大小
（2）解除鎖定前彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）小物塊第二次經(jīng)過O′點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（4）小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)，它距O′點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）物塊與小車組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出平板車的速度．
（2）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)，豎直方向受到重力和地面的支持力，水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒．根據(jù)系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒求解解除鎖定前彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）小物塊從最高點(diǎn)下滑到O′的過程中，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，由兩大守恒定律結(jié)合求解小物塊第二次經(jīng)過O′點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（4）對(duì)全過程，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒求出平板車和小物塊的共同的速度，由能量守恒求解物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)距O′點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，故小物塊到達(dá)圓弧最高點(diǎn)A時(shí)，二者的共同速度v_共=0；
（2）設(shè)彈簧解除鎖定前的彈性勢(shì)能為E_p，上述過程中由能量轉(zhuǎn)換和守恒，則有
E_p=mgR+μmgL，代入數(shù)據(jù)得E_p=7.5J；
（3）設(shè)物塊第二次經(jīng)過O′時(shí)的速度大小為v_m，
此時(shí)平板車的速度大小為v_m，研究小物塊在圓弧面上下滑過程，
由系統(tǒng)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有
0=mv_m-Mv_M…①
mgR=

1

2

mv_m²+

1

2

Mv_m² ②，
由①②兩式可得v_m=

2gRM M+m

   ③，
將已知條件代入③解得v_m=2.0m/s；
（4）最終平板車和小物塊相對(duì)靜止時(shí)，二者的共同速度為0．
設(shè)小物塊相對(duì)平板車滑動(dòng)的總路程為s，對(duì)系統(tǒng)由功能關(guān)系有E_p=μmgs，
代入數(shù)據(jù)解得s=1.5m，
小的塊最終靜止在O′點(diǎn)右側(cè)，它距O′點(diǎn)的距離為s-L=0.5m；
答：（1）小物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，平板車的速度為0；
（2）解除鎖定前彈簧的彈性勢(shì)能為7.5J；
（3）小物塊第二次經(jīng)過O′點(diǎn)時(shí)的速度大小為2.0m/s；
（4）小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)，它距O′點(diǎn)的距離為0.5m．

點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對(duì)位移，往往根據(jù)能量守恒研究．