Question

12．如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕質彈簧下端固定、上端與B物體連接，物體A疊放在B上，A、C兩物體通過細線連接并跨放在光滑的滑輪上．初始時控制C使之靜止，且繩子剛好拉直但未繃緊．已知A、B、C質量分別為m、2m、2m，C與右側平臺的高度差為d．將C由靜止釋放后，C向下運動同時帶動A、B上升．已知在A、B分離之前C還未落到平臺上，且全過程A物體不會碰到滑輪．忽略空氣阻力影響，重力加速度為g，已知彈簧彈性勢能E_彈與形變量△x之間的關系滿足E_彈=$\frac{1}{2}$k△x²．試求在釋放C后的運動過程中：
（1）從開始到A、B剛好分離這一過程中，B物體上升的高度；
（2）A、B剛好分離瞬間，B物體的速度；
（3）A物體能夠上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）初始狀態(tài)，繩子無彈力，對AB整體受力分析，由平衡條件求出彈簧的壓縮量，A、B剛好分離的瞬間，A、B之間無彈力，A、B、C加速度相等，把A、C選為整體，由牛頓第二定律列式求出加速度，再分別對A和B受力分析根據(jù)牛頓第二定律求解即可；
（2）從初始狀態(tài)到剛好分離時，對A、B、C組成的系統(tǒng)，由機械能守恒列式求解；
（3）設C碰到桌面前瞬間，A、C速度大小為v₂，從C下落到碰到桌面的過程，對AC組成的系統(tǒng)，由機械能守恒列式，C與地面相碰之后，繩子松弛，A物體做豎直上拋，上拋過程中A物體機械能守恒，根據(jù)機械能守恒列式，進而求解A物體能夠上升的最大高度．

解答 解：（1）初始狀態(tài)，繩子無彈力，對AB整體受力分析，由平衡條件得：k△x₁=（m_A+m_B）g，解得：$△{x}_{1}=\frac{3mg}{k}$，
A、B剛好分離的瞬間，A、B之間無彈力，A、B、C加速度相等，
把A、C選為整體，由牛頓第二定律得：
m_Cg-m_Ag=（m_C+m_A）a，解得：a=$\frac{1}{3}g$，
對A受力分析，由牛頓第二定律得：T-m_Ag=m_Aa，解得：T=$\frac{4}{3}mg$
A、B剛好分離時，設彈簧壓縮量為△x₂，對B受力分析，由牛頓第二定律得：
k△x₂-m_Bg=m_Ba，解得：$△{x}_{2}=\frac{8mg}{3k}$，
則B物體上升的高度為$△{h}_{B}=△{x}_{1}-△{x}_{2}=\frac{mg}{3k}$
（2）從初始狀態(tài)到剛好分離時，對A、B、C組成的系統(tǒng)，由機械能守恒得：
$\frac{1}{2}k△{{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}k△{{x}_{2}}^{2}=（{m}_{A}+{m}_{B}+{m}_{C}）g△{h}_{B}$+$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}+{m}_{C}）{{v}_{1}}^{2}$，
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{11m{g}^{2}}{45k}}$
（3）設C碰到桌面前瞬間，A、C速度大小為v₂，從C下落到碰到桌面的過程，對AC組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律得：m_Cg△h_C-m_Ag△h_C=$\frac{1}{2}（{m}_{C}+{m}_{A}）（{{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}）$，且△h_C=d-△h_B
C與地面相碰之后，繩子松弛，A物體做豎直上拋，減速到零，設上拋位移為x，因上拋過程中A物體機械能守恒，則有：${m}_{A}gx=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{2}}^{2}$
全過程A物體總的上升高度為：H=d+x
聯(lián)立以上各式，解得：H=$\frac{4}{3}d+\frac{mg}{90k}$
答：（1）從開始到A、B剛好分離這一過程中，B物體上升的高度為$\frac{mg}{3k}$；
（2）A、B剛好分離瞬間，B物體的速度為$\sqrt{\frac{11m{g}^{2}}{45k}}$；
（3）A物體能夠上升的最大高度為$\frac{4}{3}d+\frac{mg}{90k}$．

點評 本題關鍵是分析求出系統(tǒng)的運動情況，然后結合機械能守恒定律、牛頓第二定律以及胡克定律多次列式求解分析，解題時注意整體法和隔離法的應用，難度適中．