Question

12．軌道ABCD的AB段為一半徑R的光滑$\frac{1}{4}$圓形軌道，BC段高為h=25R的豎直軌道，CD段為水平軌道．一小球由A點(diǎn)從靜止開始下滑，離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，求：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小；
（2）小球離開B點(diǎn)后，在CD軌道上的落地點(diǎn)到C的水平距離；
（3）如果在BCD軌道上放置一個(gè)傾角θ=45°的斜面（如圖中虛線所示），那么小球離開B點(diǎn)后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置．

Answer 1

分析 （1）據(jù)機(jī)械能守恒定律求解速度；（2）據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求到C點(diǎn)的距離；（3）據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離和斜面的長(zhǎng)度判斷能否落在，再據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解即可．

解答 解：（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，
$\frac{1}{2}$mv_B²=mgR                            
得  v_B=$\sqrt{2gR}$
（2）設(shè)球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，落點(diǎn)到C距離為s
由   h=$\frac{1}{2}$gt₁²      ①
又   s=v_Bt₁ ②
解得：s=10R              
（3）如圖，斜面BEC的傾角θ=45°，CE長(zhǎng)d=h=25R
因?yàn)閐＞s，所以小球離開B點(diǎn)后能落在斜面上
假設(shè)小球第一次落在斜面上F點(diǎn)，BF長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球從B點(diǎn)到F點(diǎn)的時(shí)間為t₂
Lcosθ=v_Bt₂ ③
sinθ=$\frac{1}{2}$gt₂²         ④
聯(lián)立兩式得    L=4$\sqrt{2}$gR             
如圖所示，
答：1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小$\sqrt{2gR}$；
（2）小球離開B點(diǎn)后，在CD軌道上的落地點(diǎn)到C的水平距離10R．
（3）在BCD軌道上放置一個(gè)傾角θ=45°的斜面（如圖中虛線所示），那么小球離開B點(diǎn)后能落到斜面上，求它第一次落在斜面上的位置到B點(diǎn)的距離為4$\sqrt{2}$gR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的綜合，關(guān)于小球落在斜面上，平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移和水平位移的比值是一定值．