Question

蕩秋千是大家喜愛的一項(xiàng)體育活動(dòng)．隨著科技的迅速發(fā)展，將來(lái)的某一天，同學(xué)們也許會(huì)在其它星球上享受蕩秋千的樂(lè)趣．假設(shè)你當(dāng)時(shí)所在星球的質(zhì)量為M，半徑為R，可將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)、擺長(zhǎng)不變、擺角小于900，若經(jīng)過(guò)最低位置的速度為v₀．萬(wàn)有引力常量為G．
（1）該星球的第一宇宙速度是多少？
（2）該星球表面附近的重力加速度g是多少？
（3）擺動(dòng)過(guò)程中，你能上升的最大高度是多少？
（4）若你的質(zhì)量是m秋千擺長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)最低位置時(shí)你對(duì)秋千的壓力是多大？

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度的大小等于貼近星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大�。�
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出星球表面的重力加速度．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出上升的最大高度．
（4）根據(jù)在最低點(diǎn)合力提供向心力求出支持力的大小，從而根據(jù)牛頓第三定律得出對(duì)秋千的壓力大�。�

解答：解：（1）設(shè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星圍繞星球表面飛行速度為v，萬(wàn)有引力提供向心力
G

Mm

R2

=m

v2

R

解得v=

GM R

（2）設(shè)物體的質(zhì)量為m，在星球表面附近的重力等于萬(wàn)有引力
G

Mm

R2

=mg
解得g=

GM

R2

（3）設(shè)人的質(zhì)量為m，能上升的最大高度為h，由機(jī)械能守恒定律得
mgh=

1

2

mv02
解得h=

R2v02

2GM

．
（4）經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，秋千的支持力F和人的重力G提供向心力，
有：F-mg=m

v02

l

解得F=m(

GM

R2

+

v02

l

)
由牛頓第三定律得，F壓=F=m(

GM

R2

+

v02

l

)．
答：（1）該星球的第一宇宙速度是v=

GM R

．
（2）該星球表面附近的重力加速度g=

GM

R2

（3）能上升的最大高度是h=

R2v02

2GM

．
（4）經(jīng)過(guò)最低位置時(shí)你對(duì)秋千的壓力是m(

GM

R2

+

v02

l

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了萬(wàn)有引力與機(jī)械能守恒和牛頓第二定律的綜合，掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．