Question

以豎直向上為y軸正方向的平面直角系xOy，如圖所示．在第一、四象限內(nèi)存在沿x軸負方向的勻強電場E₁，在第二、三象限內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強電場E₂和垂直于xOy平面向外的勻強磁場．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球從坐標原點O以初速度v₀沿與x軸正方向成45°角的方向射出．已知兩電場的電場強度E₁=E₂=

mg

q

，磁場的磁感應強度為B．
（1）求小球離開O點后第一次經(jīng)過y軸所用的時間；
（2）求小球離開O點后第三次經(jīng)過y軸的坐標；
（3）若小球從O點以某一初速度沿與x軸正方向成135°角的方向射出且能再次回到O點，則該初速度的大小為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，可求出加速度大小與方向，再由運動學公式，即可求解；
（2）根據(jù)電場力與重力平衡，可知，粒子做勻速圓周運動，由牛頓第二定律，列式可得，半徑關系．從而由粒子做平拋運動，運用運動學公式可得，每次經(jīng)過y軸的坐標，從而即可求解；
（3）根據(jù)粒子做勻速圓周運動，由牛頓第二定律與幾何關系可知，初速度的大�。�

解答：解：（1）設小球在第一象限中的加速度為a，
由牛頓第二定律得

(mg)2+(qE)2

=ma
得到a=

2

g，方向與v₀的方向相反
在第一象限中小球先勻減速運動再反向勻加速運動，所以
t₁=

2v0

a

=

2 v0

g

（2）小球第一次經(jīng)過y軸后，在第二、三象限內(nèi)由qE=mg，電場力與重力平衡，故做勻速圓周運動．設軌跡半徑為R．有
qv₀B=m

mv 2 0

R

得R=

mv0

qB

小球第二次經(jīng)過y軸的坐標
y₁=

2

R=

2 mv0

qB

t時間后第三次經(jīng)過y軸，在第一、四象限內(nèi)做類平拋運動，有
v₀t′=

1

2

2

gt²
得t′=

2 v0

g

小球第二次經(jīng)過y軸與第三次經(jīng)過y軸的距離為
△y=

2

v₀t′=

2v 2 0

g

 
小球第三次經(jīng)過y軸的坐標y₂=y₁-△y=

2 mv0

qB

-

2v 2 0

g

（3）若小球沿與x軸正方向成135°射出時小球的運動軌跡如圖所示，有△y′=2

2

R′
即

2v2

g

=2

2

mv

qB

得v=

2 mg

qB

答：（1）則小球離開O點后第一次經(jīng)過y軸所用的時間

2 v0

g

；
（2）則小球離開O點后第三次經(jīng)過y軸的坐標

2 mv0

qB

-

2v 2 0

g

；
（3）若小球從O點以某一初速度沿與x軸正方向成135°角的方向射出且能再次回到O點，則該初速度的大小為

2 mg

qB

．

點評：考查粒子在電場力作用下做類平拋運動，在磁場力作用下做勻速圓周運動，掌握處理的方法與規(guī)律，理解牛頓第二定律與幾何的關系的應用．本題畫出正確的運動軌跡是解題的關鍵之處．