Question

10．為了探測某星球，載著登陸艙的探測飛船繞著該星球做勻速圓周運動，測得其周期為T₁，軌道半徑為r₁；隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球表面很近的軌道上做勻速圓周運動，測得其周期為T₂．已知萬有引力常量為G．求：
（1）該星球的質量；
（2）星球表面的重力加速度．（不考慮星球的自轉）

Answer 1

分析 （1）飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力的周期表達式，化簡可得該星球的質量M．
（2）對于星球表面上的物體受到的重力等于萬有引力，在結合開普勒第三定律，化簡可得星球表面的重力加速度．

解答 解：（1）設星球質量為M，飛船質量為m₁
萬有引力提供圓周運動向心力：
$G\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}=m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
解得：
$M=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$．
（2）設星球表面上重力加速度為g，半徑R，登陸艙質量為m₂
$G\frac{M{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$
$G\frac{M{m}_{2}}{{{r}_{2}}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$
解得：
$g=4{π}^{2}{r}_{1}\root{3}{（\frac{1}{{T}_{1}^{2}{T}_{2}^{2}}）^{2}}$．
答：
（1）該星球的質量$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$；
（2）星球表面的重力加速度$4{π}^{2}{r}_{1}\root{3}{{（\frac{1}{{T}_{1}^{2}{T}_{2}^{2}}）}^{2}}$．

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力和星球表面的物體受到的重力等于萬有引力這兩個關系，要知道開普勒第三定律的表達式．