Question

3．蹦床比賽分成預(yù)備運(yùn)動(dòng)和比賽動(dòng)作．最初，運(yùn)動(dòng)員靜止站在蹦床上；在預(yù)備運(yùn)動(dòng)階段，他經(jīng)過若干次蹦跳，逐漸增加上升高度，最終達(dá)到完成比賽動(dòng)作所需的高度；此后，進(jìn)入比賽動(dòng)作階段．把蹦床簡化為一個(gè)豎直放置的輕彈簧，彈力大小F=kx（x為床面下沉的距離，k為常量）．質(zhì)量m=50kg的運(yùn)動(dòng)員靜止站在蹦床上，床面下沉x₀=0.10m；在預(yù)備運(yùn)動(dòng)中，假定運(yùn)動(dòng)員所做的總功W全部用于其機(jī)械能；在比賽動(dòng)作中，把該運(yùn)動(dòng)員視作質(zhì)點(diǎn)，其每次離開床面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的騰空時(shí)間均為△t=2.0s，設(shè)運(yùn)動(dòng)員每次落下使床面壓縮的最大深度均為x₁．取重力加速度g=10m/s²，忽略空氣阻力的影響．
（1）求常量k，并在圖中畫出彈力F隨x變化的示意圖；
（2）求在比賽動(dòng)作中，運(yùn)動(dòng)員離開床面后上升的最大高度h_m；
（3）借助F-x圖象可以確定彈性做功的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，求x₁和W的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律求出勁度系數(shù)，抓住彈力與形變量成正比，作出彈力F隨x變化的示意圖．
（2）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，求出人在空中下落的時(shí)間，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)員離開床面后上升的最大高度．
（3）根據(jù)圖線圍成的面積表示彈力做功，得出彈力做功的表達(dá)式，根據(jù)動(dòng)能定理求出彈力做功，從而求出x₁的值．

解答 解：（1）根據(jù)胡克定律得，mg=kx₀，解得 k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$=$\frac{500}{0.1}$=5000N/m．
F隨x的變化示意圖如圖所示．

（2）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，知運(yùn)動(dòng)員下落的時(shí)間為1s．
則上升的最大高度 h_m=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×{1}^{2}$=5m．
（3）人靜止時(shí)彈性勢能 $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$=25J
運(yùn)動(dòng)員與彈簧接觸時(shí)的速度 v=gt=10m/s．
以彈簧面為參考面，根據(jù)動(dòng)能定理得 $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$-mgx₀+W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
人從最高處5m下落到最低處：$\frac{1}{2}$kx₁²=mg（h+x₁）
聯(lián)立兩式解得 x₁=$\frac{\sqrt{101}+1}{10}$m≈1.1m．
W=2525J．
答：
（1）常量k=5000N/m，彈力F隨x變化的示意圖如圖所示．

（2）運(yùn)動(dòng)員離開床面后上升的最大高度為5m．
（3）x₁和W的值分別為1.1m和2525J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道運(yùn)動(dòng)員在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理等知識(shí)進(jìn)行求解．