(1)若三個(gè)小球的質(zhì)量均為m且令h遠(yuǎn)小于R,則小球在碰撞時(shí)將交換速度,且三個(gè)小球組成的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是周期性的,求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T.
(2)若三個(gè)小球的質(zhì)量不同且成一定比例,當(dāng)h為某一定值h0時(shí),球1與球2碰撞,球2再與球3碰撞,經(jīng)上述碰撞后三個(gè)小球的動(dòng)量大小之比為1∶1∶2,方向相同,且球3恰能滑出容器,求三個(gè)小球的質(zhì)量之比m1∶m2∶m3和h0的值.
(1)球1與球2、球2與球3碰撞后交換速度,球3滑至h高處,再滑回與球2碰撞,而球2與球1碰撞,又使球1滑回h高處,此后系統(tǒng)將做周期性運(yùn)動(dòng),又因?yàn)閔<<R
T1=T3=2π①
而T=+
②
由①②得T=2π.③
(2)依題意三個(gè)球碰后的動(dòng)量之比為1∶1∶2,令p1′=p,p2′=p,p3′=2p
由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得球1碰前動(dòng)量
p1=p1′+p2′+p3′=4p④
由動(dòng)量守恒得球1與球2碰后球2的動(dòng)量
p2=p1-p1′=3p⑤
碰撞時(shí)無機(jī)械能損失,則有
+
⑥
由⑥式得⑦
球2與球3碰撞時(shí)動(dòng)量守恒且無機(jī)械能損失,則有
⑧
由⑧式得⑨
由⑦⑨得m1∶m2∶m3=10∶6∶3⑩
對球3,碰后恰滑出容器,由機(jī)械能守恒得
=m3gR
而對球1,剛滑下直至與球2碰撞前機(jī)械能守恒,則
=m1gh0
解得:h0=0.36R
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