Question

18．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有xOy坐標系，長為l的不可伸長細繩，一端固定在A點，A點的坐標為（0、$\frac{l}{3}$），另一端系一質(zhì)量為m的小球．現(xiàn)在x坐標軸上（x＞0）固定一個小釘，拉小球使細繩繃直并呈水平位置，再讓小球從靜止釋放，當細繩碰到釘子以后，小球可以繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運動．
（1）當釘子在x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P點時，小球經(jīng)過最低點時細繩承受的拉力；
（2）為使小球釋放后能繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運動，釘子至少距O點多遠．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)學知識求出小球做圓周運動的軌道半徑，由機械能守恒定律求出小球到達最低點時的速度，然后由牛頓第二定律求出繩子的拉力．
（2）由牛頓第二定律求出小球到達最高點的速度，由機械能守恒定律求出釘子的位置，然后確定釘子位置范圍．

解答 解：（1）當釘子在x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P點時，小球繞釘子轉(zhuǎn)動的半徑為：
R1=l-$\sqrt{（\frac{l}{3}）^{2}+{x}^{2}}$
小球由靜止到最低點的過程中機械能守恒：
mg（$\frac{l}{3}$+R₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
在最低點細繩承受的拉力有：F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
解得最大拉力為：F=5mg   
（2）小球繞釘子圓周運動恰好到達最高點時，有：
mg=$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
運動中機械能守恒：mg（$\frac{l}{3}$-R₂）=$\frac{1}{2}$mv₂²
釘子所在位置為：x'=$\sqrt{（l-{R}_{2}）^{2}-（\frac{l}{3}）^{2}}$
聯(lián)解得：x'=$\frac{2\sqrt{10}}{9}$l
答：（1）當釘子在x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P點時，小球經(jīng)過最低點時細繩承受的拉力為5mg
（2）為使小球釋放后能繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運動，釘子至少距O點$\frac{2\sqrt{10}}{9}$l．

點評 本題應明確小球在運動過程中只有重力做功，機械能守恒，應用機械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時要注意，小球恰好到達最高點時，重力提供向心力．