Question

（2013?海淀區(qū)一模）如圖所示，光滑、足夠長、不計電阻、軌道間距為l的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，水平放在豎直向下的磁感應(yīng)強度不同的兩個相鄰的勻強磁場中，左半部分為Ι勻強磁場區(qū)，磁感應(yīng)強度為B₁；右半部分為Ⅱ勻強磁場區(qū)，磁感應(yīng)強度為B₂，且B₁=2B₂．在Ι勻強磁場區(qū)的左邊界垂直于導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻為R₁的金屬棒a，在Ι勻強磁場區(qū)的某一位置，垂直于導(dǎo)軌放置另一質(zhì)量也為m、電阻為R₂的金屬棒b．開始時b靜止，給a一個向右沖量I后a、b開始運動．設(shè)運動過程中，兩金屬棒總是與導(dǎo)軌垂直．
（1）求金屬棒a受到?jīng)_量后的瞬間通過金屬導(dǎo)軌的感應(yīng)電流；
（2）設(shè)金屬棒b在運動到Ι勻強磁場區(qū)的右邊界前已經(jīng)達(dá)到最大速度，求金屬棒b在Ι勻強磁場區(qū)中的最大速度值；
（3）金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強磁場區(qū)后，金屬棒b再次達(dá)到勻速運動狀態(tài)，設(shè)這時金屬棒a仍然在Ι勻強磁場區(qū)中．求金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強磁場區(qū)后的運動過程中金屬棒a、b中產(chǎn)生的總焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒瞬間得到一個初速度，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，由閉合電路歐姆定律求解電流大小
（2）選ab兩棒組成的系統(tǒng)為研究對象，可得水平方向動量守恒，可解b棒的最大速度值
（3）金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強磁場區(qū)后，穿過回路的磁通量減小，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒均受安培力作用，使a減速，b加速，最終兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢相等時，兩棒改作勻速直線運動，此過程中產(chǎn)生的焦耳熱等于兩棒動能的減少量

解答：解：（1）設(shè)金屬棒a受到?jīng)_量I時的速度為v₀，金屬棒a產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E，金屬軌道中的電流為i，則
由動量定理得：I=mv₀
由法拉第電磁感應(yīng)定律得：E=B₁lv₀
i=

E

R1+R2

即：i=

B1lI

(R1+R2)m

（2）金屬棒a和金屬棒b在左部分磁場中運動過程中所受安培力大小相等、方向相反，合力為零，故a、b組成的，水平方向動量守恒．
金屬棒a和金屬棒b在Ι勻強磁場區(qū)中運動過程中達(dá)到的最大速度v_m時，二金屬棒速度相等，感應(yīng)電流為零，二金屬棒勻速運動，根據(jù)動量守恒定律有
mv₀=2mv_m
v_m=

I

2m

（3）金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強磁場時，設(shè)金屬棒a的感應(yīng)電動勢為E₁，金屬棒b的感應(yīng)電動勢為E₂，
E₁=B₁lv_m
E₂=B₂lv_m
因為   B₁=2 B₂
所以   E₁=2 E₂
所以，金屬棒b一進(jìn)入Ⅱ勻強磁場，電流立即出現(xiàn)，在安培力作用下金屬棒a做減速運動，金屬棒b做加速運動．設(shè)金屬棒a在Ι勻強磁場區(qū)運動速度從v_m變化到最小速度v_a，所用時間為t，金屬棒b在Ⅱ勻強磁場區(qū)運動速度從v_m變化到最大速度為v_b，所用時間也為t，此后金屬棒a、b都勻速運動，則
B₁lv_a=B₂lv_b
即 v_b=2v_a
設(shè)在t時間內(nèi)通過金屬棒a、b的電流平均值為

.

I

根據(jù)動量定理有
B₁

.

I

lt=mv_a-mv_m  方向向左
B₂

.

I

lt=mv_b-mv_m  方向向右
解得：va=

3

5

vm…（1分）vb=

6

5

vm
設(shè)金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強磁場后，金屬棒a、b產(chǎn)生的總焦耳熱為Q，根據(jù)能量守恒，有：
Q=△E_K=2×

1

2

mv

2 m

-

1

2

mv

2 a

-

1

2

mv

2 b

整理得：Q=

I2

40m

答：（1）金屬棒a受到?jīng)_量后的瞬間通過金屬導(dǎo)軌的感應(yīng)電流為

B1lI

(R1+R2)m

（2）b棒的最大速度值

I

2m

（3）產(chǎn)生的總焦耳熱

I2

40m

點評：本題考查內(nèi)容豐富，動量定理、動量守恒定律、能量守恒定律綜合應(yīng)用，是一道好題，有一定難度，值得研究