Question

8．我國啟動“嫦娥工程”以來，已經發(fā)射了三艘“嫦娥”探月飛行器，2013年12月實現了探測器月面軟著陸，這標志著我國探月工程進入了一個新的階段．
（1）若已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看作勻速圓周運動，求月球繞地球運動的軌道半徑r；
（2）若宇航員登陸月球后，為了測定月球表面的重力加速度，采用了一種被稱為“對稱自由下落”的測量方法，其測量原理是：將長直管沿豎直方向放置，如圖所示，小球自O點豎直向上拋出至落回O點所用時間t₁=2s（過程中沒有到達長直管頂部），小球運動過程中兩次經過比O點高h=$\frac{5}{8}$m的P點的時間間隔t₂=1s，試根據測量結果計算出月球表面的重力加速度．

Answer 1

分析 （1）根據月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬有引力列式求解；
（2）本題考查了豎直上拋運動的對稱性，物體做豎直上拋時其上升到最高點所用時間和落回所用時間相等，整個過程為勻變速運動，可以看作先向上的勻減速運動，然后向下的自由落體運動兩部分組成．

解答 解：（1）根據萬有引力定律和向心力公式得：
$\frac{GM{M}_{月}}{{r}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{T}$）²r
且mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）小球從O點上升到最大高度過程中：
h₁=$\frac{1}{2}$g （$\frac{{t}_{1}}{2}$）²   ①
小球從P的上升的最大高度：
h₂=$\frac{1}{2}$g（$\frac{{t}_{2}}{2}$）²    ②
依據題意：h₁-h₂=h  ③
聯立①②③解得：g=$\frac{8h}{{t}_{1}^{2}-{t}_{2}^{2}}$=$\frac{8×\frac{5}{8}}{{2}^{2}-{1}^{2}}$=1.67m/s²；
答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球表面的重力加速度1.67m/s²

點評 本題關鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，以及衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力進行列式求解．
分析物體運行形式，根據運動特點，然后選擇相應的規(guī)律求解是解決運動問題的基本思路，要在學習中不斷培養(yǎng)解題思路．