Question

5．假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₁，則該天體的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，若它貼著該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₂，則該天體的密度為$\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力求出天體的質(zhì)量，結(jié)合天體的體積求出天體的密度．

解答 解：若這顆衛(wèi)星距該天體的表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₁，
根據(jù)$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$得，
天體的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$．
它貼著該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₂，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$得，天體的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$．
則天體的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$．
故答案為：$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，$\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，結(jié)合軌道半徑和周期求解中心天體的質(zhì)量．