Question

如圖所示，足夠長的U型金屬框架放置在絕緣斜面上，斜面傾角30°，框架的寬度l=1.0m、質(zhì)量M=1.0kg．導(dǎo)體棒ab垂直放在框架上，且可以無摩擦的運動．設(shè)不同質(zhì)量的導(dǎo)體棒ab放置時，框架與斜面間的最大靜摩擦力均為F_max=7N．導(dǎo)體棒ab電阻R=0.02Ω，其余電阻一切不計．邊界相距d的兩個范圍足夠大的磁場Ⅰ、Ⅱ，方向相反且均垂直于金屬框架，磁感應(yīng)強度均為B=0.2T．導(dǎo)體棒ab從靜止開始釋放沿框架向下運動，當(dāng)導(dǎo)體棒運動到即將離開Ⅰ區(qū)域時，框架與斜面間摩擦力第一次達到最大值；導(dǎo)體棒ab繼續(xù)運動，當(dāng)它剛剛進入Ⅱ區(qū)域時，框架與斜面間摩擦力第二次達到最大值．（g=10m/s²）．求：
（1）磁場Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離d；
（2）欲使框架一直靜止不動，導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量應(yīng)該滿足的條件；
（3）質(zhì)量為1.6kg的導(dǎo)體棒ab在運動的全過程中，金屬框架受到的最小摩擦力．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒即將離開Ⅰ時，金屬框受到的安培力沿斜面向下，框架與斜面間摩擦力第一次達到最大值，根據(jù)平衡條件求出靜摩擦力的最大值．根據(jù)安培力的表達式求出此時的速度．導(dǎo)體棒剛進入Ⅱ時，金屬框受到的安培力沿斜面向上，根據(jù)平衡條件求出此時金屬框受到的靜摩擦力最大值．再由安培力表達式求出此時的速度．導(dǎo)體棒在兩磁場邊界之間做勻加速運動，由牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)速度位移關(guān)系公式求出d．
（2）導(dǎo)體棒在磁場Ⅰ中已經(jīng)達到最大速度做勻速運動時，根據(jù)平衡條件求出棒的質(zhì)量的最小值．欲使金屬框架不動，導(dǎo)體棒剛進入Ⅱ后電流不再增大，也做勻速運動，再由平衡條件求出棒的質(zhì)量的最大值．再求出導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量范圍．
（3）分別根據(jù)牛頓第二定律和安培力的表達式求出棒在區(qū)域Ⅰ、無場區(qū)和區(qū)域Ⅱ時摩擦力的范圍，再求解摩擦力的最小值．

解答：解：
（1）導(dǎo)體棒即將離開Ⅰ時，金屬框受到的安培力沿斜面向下，對金屬框由平衡條件得
     f_max=Mgsin30°+F_A1max
解得，F(xiàn)_A1max=2N
導(dǎo)體棒受安培力：F_A1max=

B2L2v1

R

，解得υ₁=1m/s
導(dǎo)體棒剛進入Ⅱ時，金屬框受到的安培力沿斜面向上，對金屬框由平衡條件得
  f_max′=F_A2max-Mgsin30°
解得，F(xiàn)_A2max=12N
導(dǎo)體棒受安培力：F_A2max=

B2L2v2

R

代入解得，υ₂=6m/s
導(dǎo)體棒在兩磁場邊界之間運動時，mgsin30°=ma，
解得，a=5m/s²
則有d=

v 2 2 - v 2 1

2a

=3.5m
（2）導(dǎo)體棒離開Ⅰ之前，速度至少要達到υ₁=1m/s．設(shè)此時導(dǎo)體棒在磁場Ⅰ中已經(jīng)達到最大速度做勻速運動，
由平衡條件得：m₁gsin30°=F_A1max，求得m₁=0.4kg
欲使金屬框架不動，導(dǎo)體棒剛進入Ⅱ后電流不再增大，做勻速運動．由平衡條件得：
m₂gsin30°=F_A2max，求得m₂=2.4kg
即導(dǎo)體棒的質(zhì)量應(yīng)為：0.4kg＜m＜2.4kg
（3）導(dǎo)體棒在磁場Ⅰ中運動時，由牛頓第二定律得：mgsin30°-F_A1=ma
  其中，FA1=

B2L2υ

R

導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運動，最大速度為1m/s．安培力在逐漸增大，最小值是0，最大值為2N．    
此過程中對金屬棒，由平衡條件得f=Mgsin30°+F_A1′
F_A1′=F_A1
可知金屬框與斜面的摩擦力范圍為：5N～7N．    
導(dǎo)體棒在無場區(qū)時，金屬框與斜面的摩擦力恒為5N．
導(dǎo)體棒在磁場Ⅱ中運動時，由牛頓第二定律得：F_A2-mgsin30°=ma
又FA2=

B2L2υ

R

導(dǎo)體棒做加速度減小的減速運動，最大速度為6m/s．當(dāng)a=0時，速度最小，以后做勻速運動，此時速度為4m/s．安培力在逐漸減小，最小值是8N，最大值為12N．                                      
此過程中對金屬棒，由平衡條件得：f′=F_A2-Mgsin30°，F(xiàn)_A2′=F_A2
可知金屬框與斜面的摩擦力范圍為：3N～7N．  
綜上所述，金屬框受到的最小摩擦力為3N．      
答：
（1）磁場Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離d=3.5m；
（2）欲使框架一直靜止不動，導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量應(yīng)該滿足的條件是0.4kg＜m＜2.4kg；
（3）質(zhì)量為1.6kg的導(dǎo)體棒ab在運動的全過程中，金屬框架受到的最小摩擦力為3N．

點評：本題分析物體的受力至關(guān)重要，安培力的經(jīng)驗公式FA1=

B2L2υ

R

經(jīng)常用到，在推導(dǎo)的基礎(chǔ)上記住，對分析導(dǎo)體的運動作用很大．