Question

2．如圖所示坐標(biāo)系中，y軸上距原點(diǎn)O為d的P點(diǎn)有一個(gè)發(fā)射源，能夠在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率均為v₀，質(zhì)量為m，電量為q的帶正電的小球，不考慮小球間的相互作用及空氣阻力．
（1）若在x軸上方只加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=$\frac{mg}{q}$、方向豎直向下，求同一時(shí)刻發(fā)射出的小球打到x軸上的最大時(shí)間差；
（2）若該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小不變，方向改為豎直向上，同時(shí)在該區(qū)域再加一方向垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為B=$\frac{{mv}_{0}}{qd}$，求同一時(shí)刻從不同方向發(fā)射出的小球打到x軸上的最大時(shí)間差．

Answer 1

分析 （1）同一時(shí)刻發(fā)射出的粒子打到板上的最大時(shí)間差為豎直向上和豎直向下射出的粒子，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最大時(shí)間差．
（2）粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，然后求出最大時(shí)間差．

解答 解：（1）小球在電場(chǎng)中的 加速度相等，a=$\frac{qE+mg}{m}$=$\frac{q\frac{mg}{q}+mg}{m}$=2g，
最大時(shí)間差為豎直向上和豎直向下射出的粒子，
其運(yùn)動(dòng)時(shí)間差為小球從P向上運(yùn)動(dòng)到再回到P的時(shí)間，△t=2$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$；
（2）電場(chǎng)力大�。篎=qE=mg，方向與重力方向相反，重力與電場(chǎng)力合力為零，
小球所受合外力為洛倫茲力，小球做圓周圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=d，
小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間與最短時(shí)間運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

粒子的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{3}{4}$T，粒子的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{1}{6}$T，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πd}{{v}_{0}}$，
粒子運(yùn)動(dòng)的最大時(shí)間差：△t′=t₁-t₂=$\frac{7πd}{6{v}_{0}}$；
答：（1）同一時(shí)刻發(fā)射出的小球打到x軸上的最大時(shí)間差為$\frac{{v}_{0}}{g}$；
（2）同一時(shí)刻從不同方向發(fā)射出的小球打到x軸上的最大時(shí)間差為$\frac{7πd}{6{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是解題的關(guān)鍵；帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力；確定帶電粒子軌跡的范圍一般應(yīng)用畫圖的方法找出，同時(shí)可以結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行分析．