Question

（2008?深圳二模）如圖所示，直線MN下方無磁場，上方空間存在兩個勻強磁場，其分界線是半徑為R的半圓，兩側的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應強度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶負電微粒從P點沿半徑方向向左側射出，最終打到Q點，不計微粒的重力．求：
（1）微粒在磁場中從P點轉(zhuǎn)過90°所用的時間．
（2）從P點到Q點，微粒的運動速度大小及運動時間．
（3）若向里磁場是有界的，分布在以O點為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域，上述微粒仍從P點沿半徑方向向左側射出，且微粒仍能到達Q點，求其速度的最大值．

Answer 1

分析：帶電粒子在磁場中只受洛倫茲力，粒子在磁場中做勻速圓周運動．根據(jù)題意作出粒子的運動軌跡，由牛頓第二定律與數(shù)學知識分析答題．

解答：解：（1）設粒子運動的軌道半徑為r，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

，
T=

2πr

v0

，解得T=

2πm

qB

，
微粒在磁場中從P點轉(zhuǎn)過90°所用的時間：
t=

90°

360°

T=

πm

2qB

；
（2）粒子的運動軌跡將磁場邊界分成n等份（n=2，3，4，．．）
設每等份圓弧所對圓心角為2θ，
由幾何知識可得θ=

π

2n

，tanθ=

r

R

，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

，
解得：v₀=

qBR

m

tan

π

2n

（n=2、3、4、…），
當n為偶數(shù)時，由對稱性可得t=

nT

2

=

nπm

qB

（n=2、4、6、8…）
當n為奇數(shù)時．t為周期的整數(shù)倍加上第一段的運動時間，
即t=

n-1

2

T+

π+ π n

2π

T=

(n2+1)πm

nqB

（n=3、5、7…），

（3）設x為O到粒子運動軌跡的圓心的距離，
由幾何知識得：r=Rtan

π

2n

，x=

R

cos π 2n

，
要不超出邊界須有：

R

cos π 2n

+Rtan

π

2n

＜2R，
解得：2cos

π

2n

＞1+sin

π

2n

，
當n=2時不成立，如圖（b）所示
 
比較當n=3、n=4時的運動半徑，可知：當n=3時，運動半徑最大，粒子的速度最大．即有
r=Rtan

π

2n

=

3

3

R=

mv0

qB

，可得：v₀=

3 qBR

3m

；

答：（1）微粒在磁場中從P點轉(zhuǎn)過90°所用的時間為

πm

2qB

；
（2）從P點到Q點，微粒的運動速度大小為v₀=

qBR

m

tan

π

2n

（n=2、3、4、…），
運動時間為當n為偶數(shù)時，t=

nT

2

=

nπm

qB

（n=2、4、6、8…）
當n為奇數(shù)時，即t=

n-1

2

T+

π+ π n

2π

T=

(n2+1)πm

nqB

（n=3、5、7…）．
（3）其速度的最大值為

3 qBR

3m

．

點評：運動軌跡的特殊性研究到一般性探究，這是分析問題的一種方法．同時要利用圓的特性與物理規(guī)律相結合．本題是一道難題，根據(jù)題意作出粒子的運動軌跡是本題解題的難點，也是正確解題的關鍵．