Question

20．“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星于2013年下半年在西昌衛(wèi)星發(fā)射，實(shí)現(xiàn)“落月”的新階段．“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星到了月球附近，以速度v貼近月球表面勻速飛行，測(cè)出繞行的周期為T(mén)，已知引力常量為G，不計(jì)周?chē)�其他天體的影響，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． “嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星的半徑約為$\frac{vT}{2π}$
• B． 月球的平均密度約為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• C． “嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星的質(zhì)量約為$\frac{{v}^{3}T}{πG}$
• D． 月球表面的重力加速度約為$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$得出月球的質(zhì)量，再根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$得出月球表面的重力加速度．

解答 解：A、根據(jù)$T=\frac{2πr}{v}$，可得月球的半徑：$R=\frac{vT}{2π}$．故A正確；
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$得出月球的質(zhì)量$M=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
月球的體積：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$
月球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$．故B正確；
C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$可以得出月球的質(zhì)量，但是不能得出衛(wèi)星的質(zhì)量．故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$得${g}_{月}=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{G•\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}•\frac{vT}{2π}=\frac{2πv}{T}$．故D正確．
故選：ABD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，以及萬(wàn)有引力等于月球表面的重力．