Question

19．如圖所示，BCE為半徑R=1m的光滑半圓形軌道，O為圓心，A為圓心正上方一點(diǎn)，OA=$\frac{43}{45}$R，OA與OB間的夾角為53°，現(xiàn)將質(zhì)量m=1kg可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊從A點(diǎn)以水平向左的初速度拋出，小物塊恰好可以從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓軌道，然后從E點(diǎn)沿粗糙斜面上滑，已知物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25，g=10m/s²．求：
（1）物塊拋出的初速度v₀；
（2）物塊第一次在斜面上滑行的時(shí)間；
（3）物塊返回最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？

Answer 1

分析 （1）物塊從A到B做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律列式求解；
（2）先由動(dòng)能定理得E點(diǎn)的速度，再求出上滑和下滑的加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；
（3）先由動(dòng)能定理得C點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）從A到B做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
豎直方向：h_OA-Rcos53°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：Rsin53°=v₀t
聯(lián)立解得：v₀=3m/s；
（2）從A到E，由動(dòng)能定理得：mg（$\frac{43}{45}$R+Rcos53°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得在E點(diǎn)的速度：v=2$\sqrt{10}$m/s
在斜面上向上減速運(yùn)動(dòng)有：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，解得a₁=9.5m/s²
上滑的時(shí)間為：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$，上滑的位移x=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
在斜面上向下加速運(yùn)動(dòng)有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，解得a₁=6.5m/s²
下滑的時(shí)間為：t₂=$\sqrt{\frac{2x}{{a}_{2}}}$
綜上可得t=t₁+t₂=（$\frac{4\sqrt{10}}{19}+\frac{\sqrt{104}}{13}$）s
（3）從A到C全程，由動(dòng)能定理可得：
mg$•\frac{88}{45}R$-umgcosθ•2x=$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在C點(diǎn)又由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$
聯(lián)立兩式可解得：N=45.5N．
答：（1）物塊拋出的初速度為3m/s；
（2）物塊第一次在斜面上滑行的時(shí)間為$\frac{4\sqrt{10}}{19}+\frac{\sqrt{104}}{13}$s；
（3）物塊返回最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力為45.5N．

點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵是要掌握多過程問題動(dòng)能定理的應(yīng)用，要分段求功．易錯(cuò)的地方是滑動(dòng)的摩擦力的計(jì)算，正壓力不等于重力．