Question

17．如圖所示，水平地面上有一個坑，其豎直截面為半圓，O為圓心，且AB為沿水平方向的直徑，圓弧上有一點C，且∠BOC=60°．若在A點以初速度v₀沿水平方向拋出一個質(zhì)量為m的小球，小球?qū)�擊中坑壁上的C點．重力加速度為g，圓的半徑為R，下列說法正確的是（　　）

• A． 小球擊中C點時速度與水平方向的夾角為30°
• B． 小球飛行的時間為$\frac{{2\sqrt{3}{V_0}}}{3g}$
• C． 只要速度v₀與R滿足一定的關系，小球在C點能垂直擊中圓弧
• D． 不論v₀取多大值，小球都不可能在C點垂直擊中圓弧

Answer 1

分析 平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，結合運動學公式求出小球飛行的時間．抓住小球某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，分析小球能否垂直擊中C點．

解答 解：A、小球擊中C點時，豎直位移y=$Rsin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，水平位移x=$R+Rcos60°=\frac{3}{2}R$，位移與水平方向夾角的正切值$tanα=\frac{y}{x}=\frac{\frac{\sqrt{3}R}{2}}{\frac{3R}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，平拋運動某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，即$tanα=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，速度與水平方向夾角$α=arctan\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故A錯誤．
B、小球的飛行時間t=$\frac{x}{{v}_{0}}=\frac{3R}{2{v}_{0}}$，根據(jù)$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t得，$4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}=9gR$，則$t=\frac{3R}{2{v}_{0}}=\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$，故B正確．
C、若小球在C點垂直擊中圓弧，則速度的反向延長線經(jīng)過圓心，根據(jù)幾何關系知，速度與水平方向的夾角是位移與水平方向夾角的2倍，由于平拋運動某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，所以小球不可能在C點垂直擊中圓弧，故C錯誤，D正確．
故選：BD．

點評 解決本題的關鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結合運動學公式和推論靈活求解，難度中等．