Question

7．如圖所示的裝置是在豎直平面內(nèi)放置的光滑絕緣軌道，一小球從高h(yuǎn)（大小未知）的A處由靜止開始下滑．沿軌道ABC運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)，已知圓軌道半徑為R，斜面傾角為θ=53°，則
（1）要使小球能在圓軌道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，h至少多大；
（2）若使該軌道整體處于水平向右的勻強(qiáng)電場中，并使一帶負(fù)電小球從高H（大小未知）的D處由靜止開始下滑，沿軌道ABC運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)．已知小球所受到電場力是其重力的$\frac{3}{4}$，且BC=2R，要使小球在圓軌道內(nèi)能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，H至少多少？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求的最高點(diǎn)的速度，由動(dòng)能定理求的高度
（2）對(duì)小球受力分析可知小球受到的合力為恒力F=$\frac{5}{4}$mg，在復(fù)合場中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是恰好通過等效最高點(diǎn)，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可求得臨界速度，再選擇A點(diǎn)為初態(tài)，D點(diǎn)為末態(tài)，根據(jù)動(dòng)能定理求出高度h．

解答 解：（1）在最高點(diǎn)mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
有動(dòng)能定理可知mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
聯(lián)立解得h=2.5R
（2）小球所受的重力和電場力都為恒力，故兩力可等效為一個(gè)力F，如圖所示，可知F=$\frac{5}{4}$mg，方向與豎直方向夾角為37°，偏左下；
從圖中可知，做完整的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是恰能通過D點(diǎn)，若球恰好能通過D點(diǎn)，則達(dá)到D點(diǎn)時(shí)小球與圓環(huán)間的彈力恰好為零，
由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得：F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$即：$\frac{5}{4}$mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
選擇A點(diǎn)作為初態(tài)，D點(diǎn)為末態(tài)，由動(dòng)能定理有：
mg（h-R-Rcos37°）-$\frac{3}{4}$mg（htan37°+2R+Rsin37°）=$\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)：mg（h-1.8R）-$\frac{3}{4}$mg（$\frac{3}{4}$h+2.6R）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$mgR
7h=10R+60R=70R
解得：h=10R
答：（1）使小球能在圓軌道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，h至少2.5R
（2）若使小球在圓環(huán)內(nèi)能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，h至少為10R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合場中圓周運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和動(dòng)能定理的應(yīng)用，注意在復(fù)合場中找到等效最高點(diǎn)，而不是重力場中的最高點(diǎn)．