Question

7．中國將在2030年前進(jìn)行火星探測、深空太陽觀測、小行星伴飛和著陸、金星探測、木星探測和火星取樣返回等多個深空探測項目．若深空中一小行星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{4}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{6}$．已知地球表面的重力加速度為g，地球的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）該小行星表面的重力加速度g′；
（2）該小行星的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力求出星球表面的重力加速度，結(jié)合星球的質(zhì)量關(guān)系和半徑關(guān)系求出表面重力加速度的關(guān)系，從而求出小行星表面的重力加速度．
（2）根據(jù)星球的質(zhì)量和體積求出星球的密度的表達(dá)式，結(jié)合重力加速度和半徑的大小求出小行星的密度．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
因為一小行星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{4}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{6}$，則小行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{8}{3}$倍，即小行星表面的重力加速度為：
$g′=\frac{8}{3}g$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則地球的密度密度為：$ρ′=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πGR}$，
因為小行星表面的重力加速度為：$g′=\frac{8}{3}g$，
小行星的半徑為：$R′=\frac{1}{4}R$，
則小行星的密度為：ρ=$\frac{3×\frac{8}{3}g}{4πG×\frac{1}{4}R}=\frac{8g}{GπR}$．
答：（1）該小行星表面的重力加速度為$\frac{8}{3}g$；
（2）該小行星的密度為$\frac{8g}{GπR}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力這一重要理論，并能靈活運用，難度不大．