Question

質(zhì)量為m的小球固定在光滑輕細(xì)桿的上端，細(xì)桿通過(guò)光滑的限位孔且保持豎直．在光滑水平面上放置一個(gè)質(zhì)量為M=2m的凹形槽，凹形槽的光滑內(nèi)表面如圖所示，AB部分是斜面，與水平面成θ=30°，BCD部分是半徑為R的圓弧面，AB與BCD兩面在B處相切．讓細(xì)桿的下端與凹形槽口的左邊緣A點(diǎn)接觸．現(xiàn)將小球釋放，求：
（1）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到凹形槽的最低點(diǎn)C時(shí)，凹形槽的速度是多大；
（2）輕細(xì)桿的下端能否運(yùn)動(dòng)到凹形槽口的右邊緣 D點(diǎn)；（回答“能”或“不能”，并簡(jiǎn)述理由）
（3）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到B點(diǎn)的瞬間，小球和凹形槽的速度各是多大．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)輕細(xì)桿的下端運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，小球的速度為零．以小球和凹形槽組成的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出凹形槽的速度．
（2）判斷系統(tǒng)有無(wú)能量損失，若滿足機(jī)械能守恒，則可以到達(dá)D點(diǎn)；
（3）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到B點(diǎn)的瞬間，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解槽和球的速度關(guān)系，再由系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出兩個(gè)物體的速度．

解答：解：（1）當(dāng)輕細(xì)桿的下端運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，小球的速度為零，小球減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為凹形槽的動(dòng)能，由能量轉(zhuǎn)化守恒定律mgR=

1

2

Mv2
   又因?yàn)椋篗=2m
得凹形槽的速度：v=

gR

（2）能．原因：球、滑塊組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒．        
（3）當(dāng)輕細(xì)桿的下端從A點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，
小球的速度v₁與凹形槽的速度v₂之間的關(guān)系如右圖所示：得：v₁=v₂tanθ
由系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化守恒定律    mgRcosθ=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

    又   M=2m
解得：v1=

3 gR 7

    v2=

3 3 gR 7

答：（1）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到凹形槽的最低點(diǎn)C時(shí)，凹形槽的速度是v=

gR

；
（2）輕細(xì)桿的下端能運(yùn)動(dòng)到凹形槽口的右邊緣 D點(diǎn)，因?yàn)橄到y(tǒng)機(jī)械能守恒；
（3）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到B點(diǎn)的瞬間，小球和凹形槽的速度分別是v1=

3 gR 7

和v2=

3 3 gR 7

點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于分析小球的速度與凹形槽的速度的關(guān)系，關(guān)鍵理解物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，根據(jù)合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的矢量關(guān)系求解速度關(guān)系．