Question

3．如圖所示，線圈焊接車間的傳送帶不停地傳送邊長為L，質量為4kg，電阻為5Ω的正方形單匝金屬線圈，線圈與傳送帶之間的滑動摩擦系數μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．傳送帶總長8L，與水平面的夾角為θ=30°，始終以恒定速度2m/s勻速運動．在傳送帶的左端虛線位置將線圈無初速地放到傳送帶上，經過一段時間，線圈達到與傳送帶相同的速度，線圈運動到傳送帶右端掉入材料筐中（圖中材料筐未畫出）．已知當一個線圈剛好開始勻速運動時，下一個線圈恰好放到傳送帶上．線圈勻速運動時，相鄰兩個線圈的間隔為L．線圈運動到傳送帶中點開始以速度2m/s 通過一固定的勻強磁場，磁感應強度為5T、磁場方向垂直傳送帶向上，勻強磁場區(qū)域寬度與傳送帶相同，沿傳送帶運動方向的長度為3L．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）正方形線圈的邊長L；
（2）每個線圈通過磁場區(qū)域產生的熱量Q；
（3）在一個線圈通過磁場的過程，電動機對傳送帶做功的功率P．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律列式求解線框的加速度；根據運動學公式列式求解線框的相對位移；然后聯立方程組求解；
（2）線框在進入和離開磁場時有感應電流，根據切割公式、歐姆定律、焦耳定律列式求解即可；
（3）某一導線框穿過磁場過程，皮帶上有多個線圈，分析機械能增加量、內能增加量，然后求和．

解答 解：（1）每個線圈從投放到相對傳送帶靜止，運動的距離是一樣的．
設投放時間間隔為T，則v-t圖如圖所示．
在T時間內，傳送帶位移為x_傳=v•T，
線圈加速過程位移為x_線=$\frac{v}{2}$•T
可得2L=v•T
其中v=a•T
線圈加速過程：
由f_滑-mgsinθ=ma
其中：f_滑=μmgcosθ
代入數據，可解得：a=2.5m/s；T=0.8s；L=0.8m
線圈勻速運動時，相鄰兩個線圈的間隔為L與線圈的邊長相等，
由圖可以看出線圈的邊長與線圈加速過程走過的距離相同，所以線圈的邊長為0.8m．
（2）每個線圈穿過磁場過程中有電流的運動距離為2L，
t_穿=$\frac{2L}{v}$；
感應電動勢，E=BLv；   
由功率表達式，P=$\frac{{E}^{2}}{R}$
產生熱量Q=P•t_穿=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$•$\frac{2L}{v}$=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
解得Q=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$=10.24J              
（3）在一個線圈通過磁場的過程：傳送帶運動距離4L，所用時間t_穿=$\frac{2L}{v}$=1.6s
一個線圈加速過程摩擦產生的熱為Q_摩擦=f_滑•x_相對=μmgcosθ•$\frac{v}{2}$•T=24J
一個線圈加速過程獲得動能△E_k=$\frac{1}{2}$mv²=8J
一個線圈通過磁場的過程中焦耳熱Q_焦耳=10.24J
一個線圈運動一個L距離重力勢能增加△E_p=Lmgsinθ=16J
在一個線圈通過磁場的過程中，電動機對傳送帶做功的功率P
有W=2Q_摩擦+2×△E_k+2Q_焦耳+15×△E_p=P•t_穿
代入以上各式，得P=202.8W           
解法二：
分析某一導線框穿過磁場過程知：t_穿=$\frac{2L}{v}$=1.6s，其中有t₁=$\frac{{t}_{穿}}{4}$=0.4s的時間傳送帶上有5個導線框，
其中1個相對滑動，4個相對靜止，則該段時間內電動機做功為：W₁=F₁vt₁=（μmgcosθ+4mgsinθ+BIL）vt₁=93.12J
其中有t₂=$\frac{3{t}_{穿}}{4}$=1.2s的時間傳送帶上有4個導線框，其中1個相對滑動，3個相對靜止，
則在該段時間內電動機做功為：W₂=F₂vt₂=（μmgcosθ+3mgsinθ+BIL）vt₂=231.36J
由P t_穿=W₁+W₂，得：P=202.8w
答：（1）正方形線圈的邊長L為0.8m；
（2）每個線圈通過磁場區(qū)域產生的熱量Q為10.24J；
（3）在一個線圈通過磁場的過程，電動機對傳送帶做功的功率P為202.8W．

點評 本題關鍵是明確傳送帶的運動規(guī)律，然后分過程按照牛頓第二定律、運動學公式、切割公式、歐姆定律、焦耳定律列式求解．