Question

15．圖示為一個(gè)四星系統(tǒng)，依靠四顆星間的相互作用，維持穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其中三顆質(zhì)量均為m的形體A、B、C等間隔分布在半徑r的圓軌道上并做同向的圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為M的星體D在圓軌道的圓心上，該星體的半徑為R，引力常量為G，其它三顆星體的半徑可以忽略不計(jì)，求：
（1）星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大�。�
（2）星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

Answer 1

分析 星體間的引力可根據(jù)萬(wàn)有引力定律求解．星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由其他三個(gè)星體引力的合力提供．根據(jù)向心力公式求解周期．

解答 解：（1）星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由其他三個(gè)星體引力的合力提供，所以星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為：
F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+2•$\frac{G{m}^{2}}{3{r}^{2}}$•cos30°=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{r}^{2}}$．
（2）對(duì)于C，萬(wàn)有引力做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即F=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{3M+\sqrt{3}m}}$．
答：（1）星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{r}^{2}}$；
（2）星體C做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{3M+\sqrt{3}m}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，ABC中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．