Question

17．如圖所示，半圓形光滑滑槽固定放在水平面右側(cè)，左側(cè)有一木板，木板右端B與滑槽人口C相距7m，且木板上表面與滑槽入口等高．某時(shí)刻一小物塊以9m/s的初速度滑上木板．木板與半圓形滑槽碰撞后靜止不動(dòng)，小物塊沖入半圓形滑槽．已知木板的長(zhǎng)度L=4.5m、質(zhì)量m₁=1kg，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1，小物塊的質(zhì)量m₂=2kg，與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.4，小物塊可以看做質(zhì)點(diǎn)，取重力加速度的大小g=l0m/S²．求：
（1）小物塊剛滑上木板時(shí)，木板的加速度；
（2）木板與半圈形滑槽碰撞前瞬間的速度；
（3）為使小物塊在滑槽內(nèi)滑動(dòng)的過(guò)程中不脫離滑槽，滑槽半徑的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分析小物塊和木板的受力情況，由牛頓第二定律求出兩者的加速度．
（2）由速度時(shí)間公式求出物塊與木板速度達(dá)到相同經(jīng)歷的時(shí)間，求得共同速度．由位移時(shí)間公式求出兩者對(duì)地的位移，得到相對(duì)位移，判斷物塊是否滑出木板，可知兩者共速后一起勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求整體的加速度，由位移速度關(guān)系公式求出木板與半圈形滑槽碰撞前瞬間的速度．
（3）小物塊在滑槽內(nèi)滑動(dòng)的過(guò)程中不脫離滑槽，有兩種情況：一種情況是物塊能到達(dá)D點(diǎn)，由D點(diǎn)的臨界速度和動(dòng)能定理結(jié)合求滑槽半徑．另一種情況是物塊最大高度到達(dá)E點(diǎn)，由動(dòng)能定理求滑槽半徑，最后得到滑槽半徑的取值范圍．

解答 解：（1）對(duì)物塊，由牛頓第二定律得 μ₂m₂g=m₂a₂；
可得物塊的加速度大小為 a₂=μ₂g=4m/s²．
木板的加速度大小為 a₁=$\frac{{μ}_{2}{m}_{2}g-{μ}_{1}（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}}$=5m/s²．
（2）設(shè)物塊和木板達(dá)到共同速度為v₁的時(shí)間為t，則
   v₁=a₁t=v₀-a₂t
代入數(shù)據(jù)解得 t=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{9}{5+4}$=1s
   v₁=a₁t=5×1=5m/s
此過(guò)程中木板的位移為 x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×5×{1}^{2}$=2.5m＜7m
小物塊的位移 x₂=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}t$=$\frac{9+5}{2}×1$=7m
物塊與木板的相對(duì)位移為△x=x₂-x₁=7m-2.5m=4.5m
因?yàn)椤鱴=L，所以物塊剛好滑至木板的右端時(shí)，兩者具有共同速度，假設(shè)木板與物塊一起勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為 a₃=$\frac{{μ}_{1}（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}+{m}_{2}}$=μ₁g=1m/s²．因?yàn)閍₃＜a₂，所以物塊和木板一起減速．
設(shè)滑行到C處的速度為v_C，根據(jù)速度位移關(guān)系有
  ${v}_{1}^{2}-{v}_{C}^{2}$=2a₃（s-x₁）
解得 v_C=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-2{a}_{3}（s-{x}_{1}）}$=$\sqrt{{5}^{2}-2×1×（7-2.5）}$=4m/s
即木板與半圈形滑槽碰撞前瞬間的速度是4m/s．
（2）若物塊恰能滑過(guò)槽的最高點(diǎn)，設(shè)滑至最高點(diǎn)的速率為v_D．
由向心力公式有 m₂g=m₂$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{max}}$
物塊從C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有
-m₂g•2R_max=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 R_max=0.32m
若物塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)E點(diǎn)時(shí)速度為零，則物塊也能沿滑槽運(yùn)動(dòng)而不脫離滑槽，根據(jù)動(dòng)能定理得
-m₂gR_min=0-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 R_min=0.8m
所以為使小物塊在滑槽內(nèi)滑動(dòng)的過(guò)程中不脫離滑槽，滑槽半徑的取值范圍為R≤0.32m或R≥0.8m．
答：
（1）小物塊剛滑上木板時(shí)，木板的加速度是4m/s²；
（2）木板與半圈形滑槽碰撞前瞬間的速度是4m/s；
（3）為使小物塊在滑槽內(nèi)滑動(dòng)的過(guò)程中不脫離滑槽，滑槽半徑的取值范圍為R≤0.32m或R≥0.8m．

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)計(jì)算分析木板與滑槽碰撞前物塊與木板的速度是否相同是關(guān)鍵．第2題容易只考慮滑塊通過(guò)最高點(diǎn)的情況，而遺漏滑塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)E點(diǎn)時(shí)速度為零的情況，要培養(yǎng)自己分析隱含的臨界狀態(tài)的能力．