Question

16．據(jù)媒體報道，天文學家日前在距離地球127光年處發(fā)現(xiàn)了一個擁有7顆行星的“太陽系”，這些行星與其中央恒星之間遵循基本天體運行規(guī)律，和我們太陽系的規(guī)則相似．分析顯示，該“太陽系”中一個行星繞中央恒星的公轉周期是地球繞太陽公轉周期的m倍；該行星與中央恒星的距離等于太陽和地球之間平均距離的n倍，行星與地球的公轉軌道都可視為圓．
（1）求該“太陽系”中恒星的質量與太陽的質量之比．
（2）若已知該行星的質量是地球質量的p倍，半徑是地球半徑的q倍，求該行星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)引力提供向心力，結合向心力表達式，即可求解；
（2）由牛頓第二定律，結合引力提供向心力，即可求解．

解答 解：（1）設“太陽系”中恒星質量為M₁，行星的質量為m₁，行星繞中央恒星運轉的軌道半徑為r₁，周期為T₁；太陽質量為M₂，地球質量為m₂，地球繞太陽運轉的軌道半徑為r₂，周期為T₂
對行星：G$\frac{{M}_{1}{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=m₁r₁（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²　
對地球：G$\frac{{M}_{2}{m}_{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$=m₂r₂（$\frac{2π}{{T}_{2}}$）²　
聯(lián)立解得：$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$=$\frac{{{T}_{2}}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}{{r}_{2}}^{3}}$=$\frac{{n}^{3}}{{m}^{2}}$．
（2）設該行星的第一宇宙速度為v₁，行星半徑為R₁，則有：
G$\frac{{m}_{1}m}{{{R}_{1}}^{2}}$=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{G{m}_{1}}{{R}_{1}}}$　
設地球的第一宇宙速度為v₂，地球半徑為R₂，則有：
G$\frac{{m}_{2}m}{{{R}_{2}}^{2}}$=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{G{m}_{2}}{{R}_{2}}}$　
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{p}{q}}$．
答：（1）該“太陽系”中恒星的質量與太陽的質量之比$\frac{{n}^{3}}{{m}^{2}}$．
（2）該行星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比$\sqrt{\frac{p}{q}}$．

點評 考查牛頓第二定律的應用，掌握引力定律與向心力表達式的內容，理解向心力的來源是解題的關鍵．