Question

13．如圖所示，M、N兩金屬板之間有向右的加速電場，兩板之間電壓為U₁；P、Q兩板的間距為L₁，兩板之間有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平向行的勻強(qiáng)磁場，兩板正中央有一塊與水平中心軸線成45°角的硬質(zhì)塑料狹長薄板；在Q板右側(cè)長度為L₂、寬度為D的矩形區(qū)域內(nèi)（見圖中虛線矩形abcd區(qū)域）有一電場強(qiáng)度大小為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場．一質(zhì)量為m、電量為q的帶電粒子從M板的小孔處以極小的初速度沿著中心軸線進(jìn)入加速電場，經(jīng)加速后從N板的小孔處沿著中心軸線水平向右射出，并從P板的小孔處水平射入勻強(qiáng)磁場中，粒子在途中與硬質(zhì)塑料狹長板發(fā)生完全彈性碰撞．最后粒子運(yùn)動(dòng)到Q板并從Q板的小孔中水平射出而進(jìn)入Q板右側(cè)的電場區(qū)域內(nèi)．不計(jì)粒子所受重力、空氣阻力及碰撞時(shí)見，試求：
（1）粒子從N板射出時(shí)刻的速率；
（2）粒子從P板小孔運(yùn)動(dòng)到Q板小孔經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）粒子在Q板右側(cè)矩形abcd區(qū)域電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）在加速電場中有動(dòng)能定理求得速度；
（2）在PQ間粒子開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在與硬質(zhì)狹長塑料板發(fā)生完全彈性碰撞后，粒子的速度垂直于磁場，將在垂直于磁場平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周后又與塑料板的另一面發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后，粒子速度沿磁場方向（即沿中心軸線）向右運(yùn)動(dòng)，即可求得時(shí)間；
（3）粒子進(jìn)入豎直向下的勻強(qiáng)電場中，做類平拋運(yùn)動(dòng)，即水平方向上做勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)分情況判斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)加速電場后射出的速度大小為秒，則有：$q{U}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$v=\frac{\sqrt{2q{U}_{1}}}{m}$
（2）粒子從P板小孔射入后，開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在與硬質(zhì)狹長塑料板發(fā)生完全彈性碰撞后，粒子的速度垂直于磁場，將在垂直于磁場平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周后又與塑料板的另一面發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后，粒子速度沿磁場方向（即沿中心軸線）向右運(yùn)動(dòng)，所以粒子從P到Q經(jīng)歷的時(shí)間為t=t₁+t₂，
其中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{L}_{1}}{v}$
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{2πm}{qB}$
粒子從P到Q經(jīng)歷的時(shí)間為：$t=\frac{m{L}_{1}\sqrt{2q{U}_{1}}}{2q{U}_{1}}+\frac{2πm}{qB}$
（3）粒子進(jìn)入豎直向下的勻強(qiáng)電場中，做類平拋運(yùn)動(dòng)，即水平方向上做勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)粒子恰好從C點(diǎn)飛出矩形區(qū)域電場，則在水平方向由L₂=vt
豎直方向有：$\frac{D}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又$a=\frac{qE}{m}$
解得：$E=\frac{2D{U}_{1}}{{L}_{2}^{2}}$
①當(dāng)滿足$E≤\frac{2D{U}_{1}}{{L}_{2}^{2}}$，粒子從bc邊離開電場
在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{3}=\frac{{L}_{2}}{v}=\frac{m{L}_{2}\sqrt{2q{U}_{1}}}{2q{U}_{1}}$
②當(dāng)滿足$E＞\frac{2D{U}_{1}}{{L}_{2}^{2}}$時(shí)，粒子從cd邊離開電場，設(shè)其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₄
由$\frac{D}{2}=\frac{1}{2}{at}_{4}^{2}$
又a=$\frac{qE}{m}$
解得：${t}_{4}=\frac{\sqrt{qmDE}}{qE}$
答：（1）粒子從N板射出時(shí)刻的速率為$\frac{\sqrt{2q{U}_{1}}}{m}$；
（2）粒子從P板小孔運(yùn)動(dòng)到Q板小孔經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{m{L}_{1}\sqrt{2q{U}_{1}}}{2q{U}_{1}}+\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子在Q板右側(cè)矩形abcd區(qū)域電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{m{L}_{2}\sqrt{2q{U}_{1}}}{2q{U}_{1}}$或$\frac{\sqrt{qmDE}}{qE}$

點(diǎn)評 本題主要考查了帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是找出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的時(shí)間